Введение
Для описания поведения эластомеров при трении качения с проскальзыванием была разработана модель по схеме трения «палец-плоскость». В основе модели лежит
Эйлеро-Лагранжевый подход к описанию
процесса изнашивания [1 – 4].
Математическая модель
При создании модели использованы следующие предположения и допущения. Движение деформируемого твердого тела (сплошного эластомерного диска) было разложено на две составляющие: движение жесткого тела и наложенной на это движение деформации
(рис. 1). Такой подход позволил перейти от кинематического описания устойчивого перемещения контакта к устойчивому качению в пространстве. Деформируемое тело вращалось с постоянной угловой скоростью качения 
вокруг жесткой оси 
с центром в точке 
, которая, в свою очередь, вращалась с постоянной угловой скоростью 
вокруг фиксированной нормали 
c центром в точке 
. Движение частицы 
диска в момент времени 
состояло из жесткого вращения качения к положению 
, описываемого следующим выражением:
Численная модель
На основании модели нами получены результаты по определении износа диска при качении с проскальзыванием. Разработанная конечно-элементная модель износа представляет собой закрепленный резиновый цилиндрический образец с приложенной на него нагрузкой, трущийся об абразивный вращающийся диск [5] (рис. 2). Такая постановка позволяет оценить высоту износа только от нагрузки без влияния изменения геометрии под внешним давлением.
На верхнюю поверхность резинового цилиндра прикладывали распределенную поверхностную нагрузку. Ее величина выбиралась исходя из реальных усилий, приходящихся на область контакта автомобильной шины. При средней массе легкового автомобиля 1,5 тонны, на одну шину приходится средняя нагрузка 375 кг. С учетом постоянства площади контакта цилиндра, аналогичная нагрузка для модели будет составлять 7 Н. Для простоты был сделан переход от качения с проскальзыванием к «чистому» скольжению со скоростью:
Модель материала получали на основании экспериментальных данных. Затем для модели строили конечно-элементную сетку. При разбиении использовали трехмерный четырехузловой конечный элемент для абразивного диска и резинового образца методом swept. Для оптимизации конечно-элементной сетки абразивного диска было использовано местное её уплотнение вблизи контакта с резиновым образцом. Вид конечно-элементной сетки представлен на рис. 3.
Результаты
Решение задачи проводили в два шага. На первом, статическом шаге, проводилось прижатие цилиндрического образца к плоскости диска внешней нагрузкой. На втором шаге, квазистатическом, проводилось вращение абразивного диска вокруг своей оси со скоростью 5 км/ч [6]. В результате получали распределение глубины износа по контактирующей плоскости (рис. 4).
Варьируя величины приложенной нагрузки и времени проведения испытания, получали зависимость величины износа от изменяемых параметров (рис. 5). Анализ данных моделирования показал, что увеличение скорости движения абразивного диска приводил к повышенному износу внешней части эластомерного цилиндра.
Это связано с большей линейной скоростью в этой области контакта [7]. Использование результатов моделирования позволило нам построить зависимости интенсивности изнашивания от удельной нагрузки 0,1 до 1,5 МПа и ориентации углеродных нанотрубок (рис. 6).
Анализируя зависимости интенсивностей изнашивания конечно-элементной модели, отметим их схожесть с экспериментальными. Разработанная конечно-элементная модель (цифровой двойник) позволяет определять и оптимизировать величины износа наноструктурированных эластомерных материалов на стадии их проектирования за счет варьирования параметров модели материала [8]. Основными критериями выбора модели материала являются:
– условия изготовления эластомерного материала;
– зависимость физико-механических свойств материала от типа, концентрации и ориентации углеродных наноструктур.
Обсуждение
Сравнение данных моделирования с результатами аналитического расчета цилиндрического эластомерного индентора было проведено с учетом постоянства глубины вдавливания. Такой подход позволил уйти от фиксированной нормальной силы и дал возможность строить изношенный профиль эластомерного индентора. В разработанной нами модели рассматривался только износ эластомерного образца и не рассматривался износ абразивной поверхности диска, твердость которого много больше твердости эластомера, входящей в уравнение износа. Выбор шага интегрирования по времени позволяет стабилизировать вычисления, зафиксировать результаты при его минимизации и нивелировать неустойчивость решения. Сравнивая результаты моделирования с экспериментальными данными, отметим, что их величины почти на 20 % ниже. Это, на наш взгляд, связано с тем, что модель не учитывает такие факторы как тепловые свойства материала, шероховатость поверхности контактирующих тел, диссипацию энергии
[9 – 11] и т. д.
