сотрудник
Курган, Курганская область, Россия
УДК 62-133 Машины с вращательным, полувращательным или колебательным движениями рабочих органов
Цель исследования состоит в обобщении принципа комбинации движений на круговые движения. Задача, решению которой посвящена статья, состоит в аналитическом описании траекторий комбинированных движений. Методы исследования. Используются методы аналитической геометрии. Рассматривается координатная система x'0'y', которая вращается в координатной системе x0y без углового ускорения со скоростью ω. Радиус вращения равен ρ1. При этом 0x || 0'x', 0y || 0'y'. Объект a вращается в координатной системе x'0'y' без углового ускорения со скоростью ±ω. Радиус вращения равен ρ2. Новизна работы состоит в формулах эллипса, выраженных через радиусы противоположных вращений. Результаты исследования: установлено, что при вращениях в противоположные стороны, траектория суммарного движения представляет собой эллипс; определены все стандартные характеристики эллипса применительно к рассматриваемому случаю; установлен наклон эллиптической траектории; показано, что если траектория суммарного движения является эллиптической и полуоси равны (ρ1 + ρ2) и |ρ1 – ρ2|, то объект a совершает круговое движение в координатной системе x'0'y' без углового ускорения со скоростью –ω; подобно тому, как результатом суперпозиции двух неускоренных движений является также неускоренное, т.е. равномерное и прямолинейное движение, при вращениях в одну сторону траектория суммарного движения представляет собой окружность; при круговых движениях с кратными скоростями траектории суммарного движения представляет собой улитки. Выводы: практический аспект исследования определяется тем, что полученные формулы могут непосредственно использоваться в САПР при выполнении конструкторских работ.
комбинация движений, круговые движения, эллиптическая траектория, круговая траектория, кратные скорости
Введение
Результатом суперпозиции двух неускоренных движений является также неускоренное, т.е. равномерное и прямолинейное движение (рис. 1).
Рис. 1. Сложение неускоренных движений
Fig. 1. Addition of non-accelerated movements
Здесь – скорость координатной системы
в координатной системе
,
– скорость объекта
в в координатной системе
,
– скорость объекта
в в координатной системе
. Очевидно, что конец вектора
описывает отрезок прямой линии.
Цель исследования состоит в обобщении принципа комбинации движений на круговые движения.
Задача, решению которой посвящена статья, состоит в аналитическом описании траекторий комбинированных движений.
Актуальность работы обусловлена тем, что в механических системах широко распространены комбинированные вращательные движения, и при конструировании важно представлять характер суммарного движения [1–10].
Материалы, модели, эксперименты и методы
Используются методы аналитической геометрии. Рассматривается координатная система x'0'y', которая вращается в координатной системе x0y без углового ускорения со скоростью ω. Радиус вращения равен ρ1. При этом 0x || 0'x', 0y || 0'y'. Объект a вращается в координатной системе x'0'y' без углового ускорения со скоростью ±ω. Радиус вращения равен ρ2.
Результаты
Вращения в противоположные стороны. Теорема 1. При вращениях в противоположные стороны траектория суммарного движения представляет собой эллипс.
Доказательство.
В координатной системе начало
координатной системы
определяется следующим образом.
,
. (1)
В координатной системе объект
определяется, соответственно,
,
,
где ,
– начальные фазы.
В координатной системе объект
определяется следующим образом.
,
.
,
.
Из этих выражений определяются
,
.
,
,
. (2)
Последнее выражение представляет собой формулу эллипса.
Теорема доказана.
Теорема 2. Полуоси фигуры (2) определяются как и
.
Доказательство.
При условии выражение (2) приводится к канонической форме
,
. (3)
Теорема доказана.
Следствие 2-1. Если , то траектория суммарного движения является прямолинейной. Ее длина равна
.
Далее в следствиях 2-2 – 2-4 представлены стандартные характеристики эллипса применительно к рассматриваемому случаю.
Следствие 2-2.
.
Следствие 2-3. Для формы (3) справедливо
.
Следствие 2-4.
,
.
Теорема 3. В координатной системе эллиптическая траектория имеет наклон
.
Доказательство.
Если форму (3) повернуть на , она преобразуется следующим образом.
,
.
Это выражение идентично формуле .
Теорема доказана.
Пример. Если ,
, то эллиптическая траектория имеет наклон
(рис. 2).
Рис. 2. Эллиптическая траектория
Fig. 2. Elliptical trajectory
Нетрудно доказать теорему, обратную первой.
Теорема 4. Если траектория суммарного движения является эллиптической и полуоси равны и
, то объект
совершает круговое движение в координатной системе
без углового ускорения со скоростью
.
Вращения в одну сторону. Теорема 5. При вращениях в одну сторону траектория суммарного движения представляет собой окружность.
Доказательство.
В координатной системе начало
координатной системы
описывается формулой (1).
В координатной системе объект
определяется следующим образом.
,
.
В координатной системе объект
определяется, соответственно,.
,
.
Для радиус-вектора справедливо преобразование
...
.
Величина радиус-вектора не меняется. Это возможно лишь в том случае, если траектория суммарного движения является круговой.
Теорема доказана.
Следствие 5-1. Объект вращается в координатной системе
без углового ускорения со скоростью
.
Следствие 5-2. Радиус вращения равен
.
Нетрудно доказать теорему, обратную пятой.
Теорема 6. Если траектория суммарного движения является круговой, то объект совершает круговое движение в координатной системе
без углового ускорения со скоростью
.
Теорема 7. Если скорость вращения объекта в координатной системе
равна нулю, то траектория суммарного движения является круговой с центром в точке с координатами
,
и с радиусом
.
Доказательство.
В координатной системе начало
координатной системы
описывается формулой (1).
В координатной системе объект
определяется следующим образом.
,
.
В координатной системе объект
определяется, соответственно,.
,
,
,
,
.
Теорема доказана.
Круговые движения с кратными скоростями. Объект вращается в координатной системе
без углового ускорения со скоростью
,
.
В координатной системе начало
координатной системы
определяется следующим образом.
,
.
В координатной системе объект
определяется, соответственно,
,
.
В координатной системе объект
определяется следующим образом.
,
.
На рис. 3 показана траектория объекта (
).
Рис. 3. Траектория типа улитки
Fig. 3. Snail type trajectory
В полярных координатах эта траектория представима в виде
.
Петля в траектории появляется при выполнении соотношений
,
,
.
Если петля не образуется. Такая траектория показана на рис. 4.
Рис. 4. Улитка без петли
Fig. 4. Snail without a loop
Обсуждение/Заключение
Установлено, что при вращениях в противоположные стороны траектория суммарного движения представляет собой эллипс.
При вращениях в одну сторону траектория суммарного движения представляет собой окружность.
При круговых движениях с кратными скоростями траектории суммарного движения представляет собой улитки.
Практический аспект исследования определяется тем, что полученные формулы могут непосредственно использоваться в САПР при выполнении конструкторских работ.
1. Aliste-Prieto J., Rand B., Sadun L. Rotation numbers and rotation classes on one-dimensional tiling spaces // Annales Henri Poincare. 2021. doi:https://doi.org/10.1007/s00023-021-01019-2.
2. Zhang Z., Cen L., Zhang J., Hu J., Zhao Y., Wang F. Rotation velocity detection with orbital angular momentum light spot completely deviated out of the rotation center // Optics Express. 2020. V. 28. No. 5. P. 6859-6867. doi:https://doi.org/10.1364/OE.380324.
3. Kholmetskii A., Missevitch O., Yarman T., Arik M. Thomas precession and Thomas-wigner rotation: correct solutions and their implications // EPL. 2020. V. 129. No. 3. P. 30006. DOI:https://doi.org/10.1209/0295-5075/129/30006.
4. Avanzini G., Berardo L., Giulietti F., Minisci E.A. Optimal rotation sequences in presence of constraints on admissible rotation axes // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2011. V. 34. No. 2. P. 554-563. doi:https://doi.org/10.2514/1.49805.
5. Dong L., Rinoshika A. Comparison between rotation swirler and non-rotation swirler in a horizontal swirling flow pneumatic conveying // Powder Technology. 2019. V. 346. P. 396-402. doi:https://doi.org/10.1016/j.powtec.2019.02.017.
6. Chen X., Hu Q., Xu Z., Zhu C. Numerical modeling and dynamic characteristics study of coupling vibration of multistage face gearsplanetary transmission // Mechanical Sciences. 2019. No. 10. P. 475-495.
7. Малинкович М.Д. Синтез некоторых передаточных механизмов // Вестник Брянского государственного технического университета. 2005. № 2 (6). С. 69-73.
8. Popov I.P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2020. Vol. 49, No. 8, P. 667-671. DOI:https://doi.org/10.3103/S1052618820080105.
9. Попов И.П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 95-103.
10. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76. Iss. 4. P. 393-395. doi:https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2012.09.005.
