Введение
Газотермическое напыление порошковых материалов широко используется для создания специальных покрытий на различные детали в машиностроении, в том числе, создания термобарьерных покрытий на детали газотурбинных двигателей, эксплуатация которых проходит в условиях высоких температур и других агрессивных воздействий [1 − 5]. Ранее в работах [6, 7] было исследовано влияние параметров плазменного напыления порошка оксида алюминия на металлическую поверхность на различные свойства формирующегося покрытия, в том числе, прочность адгезионной связи с основой детали и пористость. Пористость покрытия уменьшает коэффициент теплопроводности, что обеспечивает теплозащитные свойства [8], но при слишком высокой пористости снижается прочность покрытия, в том числе адгезионная прочность связи с основой детали.
Таким образом, для определения рациональных технологических параметров плазменного напыления порошка необходима постановка и решение задачи оптимизации. Однако в классическом варианте постановка такой задачи, состоящая в выборе в качестве целевой функции одного из показателей качества покрытия и наложения ограничений на значения другого в данном случае затруднительна с одной стороны в связи со сложностью зависимостей характеристик покрытия от параметров технологического процесса, а с другой в связи с необходимостью учета стохастического характера рассматриваемого процесса. В этой связи в настоящей работе предложена методика решения задачи оптимизации технологических параметров процесса плазменного напыления покрытия на основе стратегии минимального риска.
Риск − это количественная мера возможности наступления неблагоприятного события, выражаемая через вероятность данного события и ожидаемый ущерб от его последствий, что можно представить в виде простой формулы [9, 10]
, (1)
где R − величина риска; P − вероятность наступления неблагоприятного события;
D − величина ожидаемого ущерба.
Существует достаточно много различных подходов к управлению рисками
[9 − 16], реализованных, главным образом, в финансово-экономической области [11, 12, 15]. Управление рисками в случае сложной технической системы имеет ряд особенностей [14], таких как интервальная неопределенность информации о значениях параметров и фазовом пространстве, что приводит к необходимости учета стохастических характеристик системы.
Целью настоящей работы явилось создание методики оптимизации сложного технического процесса, каким является газотермическое напыление термобарьерных покрытий, основанное на стратегии минимального риска.
Результаты и обсуждение
В настоящей работе предлагается в качестве целевой функции использовать функцию суммарных потерь от реализации рисковых событий и затрат на управление рисками, для которой необходимо найти условный минимум, при соответствующих ограничениях на параметры:
(2)
где 
− вектор управляющих воздействий;
− количество рассматриваемых рисков;
− вероятность реализации риска при управляющем воздействии ; 
− величина потерь при реализации риска; 
− затраты на реализацию управляющих воздействий .
При решении задачи (2) вводятся следующие ограничения:
1. Бюджетное ограничение:
, (3)
где 
− максимально допустимый бюджет на управление рисками.
2. Ограничение на допустимый уровень риска:
, (4)
где 
− максимально допустимый уровень риска.
3. Ограничения на управляющие воздействия:
, (5)
где 
− количество управляющих воздействий.
Таким образом, задача управления рисками сводится к нахождению оптимального вектора управляющих воздействий 
, минимизирующего целевую функцию 
при заданных ограничениях (3) − (5). В решаемой задаче 
и специфика состоит в выборе функций для вычисления вероятностей и функции затрат . При решении задачи управления риском для процесса нанесения теплозащитного покрытия на детали газотурбинных двигателей, вероятности i-го риска могут быть вычислены следующим образом:
1. Для риска, связанного с прочностью адгезионной связи (
):
, (6)
где 
− заданное предельное значение для адгезионной прочности.
Эта вероятность может быть оценена с использованием нормального распределения:
, (7)
где 
− функция стандартного нормального распределения; 
− среднеквадратическое отклонение ; оцененное по дисперсии воспроизводимости.
2. Для риска, связанного с пористостью (
):
,(8)
где Y21 и Y22 − соответственно, заданные верхнее и нижнее предельные значения пористости.
Эта вероятность также может быть оценена с использованием нормального распределения:
где − среднеквадратическое отклонение ; оцененное по дисперсии воспроизводимости.
В обоих случаях вычисляются по регрессионным моделям, полученным в работах [6, 7]
где ; – вектор коэффициентов регрессии. Аргументами функций являются следующие нормированные значения технологических параметров процесса напыления: − ток дуги плазмотрона ( , ); − дистанция напыления
( , ); − подача водорода ( , ).
Вычисленные на основании экспериментальных данных значения коэффициентов регрессии для прочности адгезионной связи и пористости из работ приведены в табл. 1 [6, 7].
В работах [6, 7] задача оптимизации не ставилась, был проведен только приближенный анализ характера поверхностей, описываемых регрессионными моделями (9), без учета члена тройного взаимодействия факторов, характеризуемого коэффициентом , то есть в линейном приближении системы уравнений для критической точки поверхности отклика. Поскольку целью настоящей работы являлось решение задачи оптимизации, представляло интерес провести более точный поиск критических точек и определение характера гиперповерхностей, описываемых уравне-ниями (9) с коэффициентами из табл. 1.
Критические точки поверхностей регрессии могут быть найдены из решения систем уравнений для каждой функции отклика
Если учитывать в уравнениях регрессии (9) эффект тройного взаимодействия факторов , то системы уравнений (10) получаются нелинейными и решать их можно только численно. В настоящей работе численное решение данных систем проводили методом Ньютона-Крылова, проводя поиск несколько раз из разных начальных точек гиперкуба (5) при . Из найденных точек оставлялись только те, которые удовлетворяли неравенствам (5), определяющим область допустимых значений длянормированных независимых переменных уравнений регрессии (9). В результате для поверхности были найдены две критические точки с координатами в нормированный единицах (- 0,1112; - 0,5802; - 0,2865) и (- 0,5470; - 0,0194; - 0,4983). Собственные значения матрицы Гессе для первой критической точки составили (- 3,9294; - 1,0692; 6,3903), что говорит о том, что данная точка является седловой. Для второй критической точки собственные значения матрицы Гессе составили (- 4,3009; 1,0232; 4,6693), что говорит о том, что и эта точка также является седловой. В качестве иллюстрации на рис. 1 − 3 приведены сечения данной гиперповерхности при значениях .
Для поверхности найдена только одна критическая точка с координатами (- 0,1776; 0,4526; - 0,1007). Собственные значения матрицы Гессе в этой точке составили (- 1,8847; - 1,0798; - 9,1412), что свидетельствует о том, что данная точка является точкой максимума функции. Это иллюстрируют графики сечений данной поверхности на рис. 4 − 6.
Проведенный анализ демонстрирует сложность постановки классической задачи оптимизации для изучаемого процесса, что и послужило причиной постановки задачи оптимизации на основе функции управления рисками (2), позволяющей с помощью варьирования ограничений оценивать оптимальные решения с точки зрения как показателей качества покрытия, так и с точки зрения затрат. В силу линейности зависимостей затрат на проведение процесса от технологических параметров функция затрат в настоящей работе была принята в виде линейной формы
, (11)
где − коэффициенты, характеризующие вклад изменений фактора в общие затраты на проведение технологического процесса.
Численное решение задачи нелинейной оптимизации (2) с ограничениями (3) ‒ (8) и функциями регрессии (9) проводили методом последовательного квадратичного программирования SLSQP (Sequential Least Squares Programming), позволяющим работать со сложными линейными и нелинейными ограничениями [17].
Примеры решения задачи оптимизации для различных предельных значений показателей качества технологического процесса и уровня затрат в табл. 2. При решении неизменными были следующие значения параметров: , что отвечает равным весовым коэффициентам для обоих показателей качества и слабым ограничениям по максимальному бюджету и максимально допустимому уровню риска. Значения остальных ограничений приведены в первом столбце табл. 2. Первые три строки отвечают отсутствию ограничений на затраты на реализацию управляющих воздействий: все коэффициенты . При этом изменялись ограничения на показатели качества покрытия Y1, Y21, Y22. Как видно, минимальное значение целевой функции, достигаемое при оптимальном векторе управляющих воздействий меняется незначительно, хотя сами координаты вектора изменяются, оставаясь при этом в пределах заданных ограничений на управляющие воздействия . Это говорит о том, что при отсутствии ограничений на затраты приблизительно одинакового уровня риска можно достичь при различных значениях ограничений на показатели качества покрытия путем варьирования технологических параметров процесса. В последней строке таблицы ограничения на затраты на реализацию управляющих воздействий присутствуют. Значения коэффициентов отражают следующее соотношение затрат на управляющие воздействия: коэффициент наибольший, что отвечает наибольшим затратам на увеличение параметра (ток плазмотрона), коэффициент равен нулю, что соответствует практическому отсутствию затрат на изменение данного параметра (дистанция до поверхности напыления), коэффициент положительный, но существенно меньший по сравнению с коэффициентом , что отвечает меньшим затратам на изменение данного параметра (расход водорода). Как видно из решения для данных параметров, функция риска весьма чувствительна к затратам, так что оптимальное значение параметра оказалось на его нижнем пределе. Логически это объясняется необходимостью снижать значение параметра
при высоких затратах на его реализацию.
Заключение
В данной работе предложена методика оптимизации технологического процесса плазменного напыления термобарьерного покрытия на детали газотурбинных двигателей, основанная на стратегии минимального риска. В отличие от традиционного подхода к оптимизации параметров технологических процессов, основанной на выборе критерия в виде одного из показателей качества покрытия при ограничениях на другие, предлагаемая методика обеспечивает большую гибкость при формулировке задачи оптимизации, а также учитывает стохастический характер технологического процесса, что обеспечивается использованием при постановке задачи оптимизации не только средних значений показателей качества но и их статистической вариации.
