сотрудник с 01.01.2012 по 01.01.2025
аспирант с 01.01.2023 по 01.01.2025
Описана разработанная математическая модель – раскрашенная сеть Петри с многоцветными метками. Модификация данной сети Петри заключается в наличии в ней меток, содержащих одновременно несколько цветов, где каждый цвет представляет собой отдельный параметр или переменную. Предложен алгоритм функционирования раскрашенной сети Петри с многоцветными метками, являющийся модификацией алгоритма для обычной раскрашенной сети Петри. В рассматриваемой сети Петри матрицы инцидентности и маркировка являются блочными матрицами, при этом каждая метка в матрице маркировок представлена в виде вектор-столбца. Отличие от обычных раскрашенных сетей Петри заключается в том, что цвета в метке, не являющиеся разрешающими для срабатывающего перехода, будут сохранены в этой метке, а разрешающие цвета будут изменяться по правилам работы обычной раскрашенной сети Петри. Раскрашенные сети Петри с многоцветными метками могут использоваться при моделировании динамических систем, где требуется единовременная передача двух и более значений параметров при выполнении условий срабатывания перехода. Например, при моделировании работы склада и его внутренних процессов, для моделирования систем управления маршрутами Ж/Д или автотранспорта и др.
динамические системы и процессы, сети Петри, раскрашенные сети Петри, многоцветные метки, алгоритм функционирования раскрашенной сети Петри с многоцветными метками
Введение
Для изучения, анализа или проектирования динамических систем и процессов применяют различные математические модели. Примером таких моделей являются сети Петри. Они позволяют моделировать асинхронность и недетерминизм параллельных, независимых событий, параллелизм конвейерного типа, конфликтные ситуации между процессами. Их можно использовать для моделирования систем, которые состоят из множества взаимодействующих друг с другом компонентов. Например, для моделирования систем управления автотранспортом, для моделирования складских и других логистических процессов. Одной из особенностей сетей Петри является наглядность представления моделируемого процесса. Это отмечается во многих работах, где применяется моделирование на основе сетей Петри, например, в работе Луиса Сесара Маркеса Де Васконселоса «Генерация трасс для моделирования «Vanets» с помощью раскрашенных сетей Петри» [1] или Жозе Элунда «Моделирование с несколькими ограничениями гибкой производственной системы». [2]
Существует множество вариаций сетей Петри. Раскрашенные или цветные сети Петри в настоящее время являются одними из наиболее популярных и широко применяемых на практике моделей сетей Петри. [3]
Их используют, например, для имитационного моделирования дискретных бизнес-процессов [4], для имитационного моделирования производственных задач с целью эффективного и рационального использования компьютерного оборудования [5], для создания моделей управления парком автономных транспортных средств, систем их эксплуатации и обслуживания [6 – 9]. Для редактирования, моделирования и анализа раскрашенных сетей Петри была создана среда CPN Tools. Её возможности были использованы для моделирования информационно-телекоммуникационной системы предприятий [10, 11], верификации систем управления доступом [12] и моделирования интеллектуальных систем управления [13].
В раскрашенных сетях Петри существует несколько типов меток, содержащих в себе значения, которые обычно называют «цветом». Вместо цвета меткам могут быть приписаны значения, обладающие сложной внутренней структурой, т.е. относящиеся к сложным типам данных, и эти значения могут быть использованы в условиях срабатывания переходов [14 – 16].
Особенностью обычной раскрашенной сети Петри является возможность различать виды меток, которые в ней используются, однако у каждой метки может быть только одно значение. По этой причине метка может передавать по сети один параметр, что не всегда удобно, так как в некоторых моделях требуется передача сразу нескольких параметров.
Целью является описание новой математической модели – раскрашенной сети Петри с многоцветными метками, в которой реализована возможность существования меток, хранящих в себе несколько цветов, и их связанная передача по сети.
Рассматриваемая в работе раскрашенная сеть Петри с многоцветными метками позволяет присвоить одной метке одновременно несколько значений, каждое из которых будет использоваться в процессе работы сети. Данную модификацию можно применить для моделирования динамических систем, где требуется совместная передача значений нескольких параметров или переменных, например, для моделирования работы склада и его внутренних процессов [16], при моделировании систем управления маршрутами Ж/Д или автотранспорта.
Определение раскрашенной сети Петри с многоцветными метками
Раскрашенная сеть Петри с многоцветными метками (PNMC – Petri nets multicolor), состоящая из позиций,
переходов и дуг
цветов, задаётся
, где – конечное непустое множество позиций,
– конечное непустое множество переходов,
– конечное непустое множество цветов, и
– матрицы инцидентности дуг, входящих в переходы и выходящих из переходов,
– начальная маркировка сети Петри.
Структура PNMC задается блочными матрицами инцидентности для каждого цвета ,
.
В каждой позиции могут находится одна или несколько многоцветных меток. Многоцветная метка имеет следующую структуру:
, где 
;
соответствуют цветам, содержащимся в метке.
Начальная маркировка является блочной матрицей. Каждый -ый блок матрицы соответствует конкретной позиции
и в нём содержатся все многоцветные метки, находящиеся в данной позиции.
Раскрашенная сеть Петри с многоцветными метками функционирует по следующему алгоритму.
1. Пусть 
– текущая маркировка сети Петри. Переходы проверяются на возможность срабатывания. Переход
разрешён, если при
выполняется следующее условие 
, где
, а 
– матрицы, содержащие все возможные сочетания вектор-столбцов из каждого блока матрицы . Операция «
» – произведение вектор-строки
на блочную матрицу
. Если разрешённого перехода нет – работа сети Петри прекращается.
2. Срабатывает разрешённый переход . Если таких переходов несколько, выбирается случайный. Для определения позиций, из которых уйдут метки, необходимо выполнить умножение вектор-строки
на
. Результатом будет вектор-строка
, где соответствуют номерам позиций, из которых перейдут метки. Если полученная вектор-строка содержит несколько единиц, необходимо разбить её на отдельные вектор-строки, содержащие одну единицу в каждой. Количество данных вектор-столбцов будет отображать количество новых появившихся меток.
3. Для определения позиций, в которые перейдут метки, необходимо выполнить умножение вектор-строки на
. Результатом будет вектор-строка
, где соответствуют номерам позиций, в которые перейдут метки. Если полученная вектор-строка будет содержать несколько единиц, необходимо разбить её на отдельные вектор-строки, содержащие одну единицей в каждой.
4. Определяются новые многоцветные метки. Для этого необходимо получить вектор-столбец, показывающий, какой цвет изменится у каждой метки, совершившей переход:
, где указывает на позицию, в которой в данный момент находится метка.
На следующем шаге необходимо получить вектор-столбец, показывающий, какой цвет появится у метки, совершившей переход:
, где
указывает на позицию, в которой в данный момент находится метка.
Новая метка
вычисляется по формуле:
.
5. Следующим этапом будет получение новой матрицы маркировок 
. Для этого из необходимо удалить вектор-столбец, отвечающий за метку, совершившую переход из блока, соответствующего позиции
, и добавить его в блок, соответствующий позиции . После выполнения данного действия необходимо перейти к п. 1.
Описание работы раскрашенной сети Петри с многоцветными метками на примере конкретной сети
Рассмотрим пример функционирования раскрашенной сети Петри с многоцветными метками по приведённому выше алгоритму. Пусть дана некоторая распределенная система, представленная с помощью сети Петри, состоящей из 5 позиций, 4 переходов и дуг 7 цветов, т.е.:
.
Данная сеть Петри представлена на рис. 1.
Рис. 1. Пример сети Петри с многоцветными метками
Fig. 1. Example of a Petri net with multicolored labels
Структура сети Петри задается блочными матрицами инцидентности для каждого цвета:
.
Начальное состояние – блочной матрицей начальной маркировки . Матрицы инцидентности сети Петри имеют вид:
где – вес дуги от
к
для
-го цвета;
– вес дуги от к
для
-го цвета.
Начальная маркировка имеет вид:
Опишем процесс функционирования сети:
1. В данный момент в позиции находятся 4 двухцветные метки. Проверим возможность срабатывания переходов. Для этого воспользуемся условием
. В данном случае 
будет сравниваться с поэтапно, т.е. будут рассмотрены все возможные сочетания вектор-столбцов из каждого блока матрицы
.
Переход 1:
Переход 2:
По правилу срабатывания переходов активными могут быть переходы и
. Пусть сработает переход
.
2. Определим позицию, из которой уйдёт метка при срабатывании перехода . Для этого умножим
на
:
Так как единица в получившейся вектор-строке
стоит на 1 позиции, метка уйдёт из .
3. Определим, в какую позицию перейдёт метка при срабатывании перехода . Для этого умножим
на :
Так как единица в получившейся вектор-строке
стоит на 2 позиции, метка перейдёт в .
4. Определим цвет, который изменится у метки. Для этого умножим
на
, так как метка совершает переход из позиции :
Определим цвет, который приобретёт метка. Для этого умножим
на
, так как метка совершает переход из позиции
:
Получаем новую многоцветную метку:
5. Новая матрица маркировок примет следующий вид:
Рис. 2. Пример сети Петри с многоцветными метками после срабатывания перехода
Fig. 2. Example of a Petri net with multicolored labels after a transition is triggered
После получения матрицы маркировок 
переходим к п.1 алгоритма, описанного выше.
Заключение
В данной работе был описан алгоритм функционирования разработанной раскрашенной сети Петри с многоцветными метками и её преимущество над обычной раскрашенной сетью Петри. Различие заключается в том, что в разработанной сети метки имеют одновременно несколько цветов, что позволяет передавать несколько значения связанно. Данная особенность может пригодиться для моделирования динамических систем, где требуется совместная передача нескольких параметров. Например, при моделировании работы склада и его внутренних процессов, при моделировании систем управления маршрутами Ж/Д или автотранспорта.
1. Yuchen Xie. Modelisation et Verification Formelles de Systemes de Contrоle de Trains: thes… doct. Automatique, genie informatique, traitement du signal et des images – Ecole centrale de Lille. – 2019. – 251 р.
2. Jose Eloundou. Modelisation multi-contraintes d'un systeme de production flexible: thes… doct. Informatique – Rouen – 2016. – 201 р.
3. Башкин В.А., Ломазова И.А. Эквивалентность ресурсов в сетях Петри. М.: Научный мир, 2008. – 208 с.
4. Коган Ю.Г., Пителинский К.В., Щербина А.А. Содифицированная раскрашенная сеть Петри: метод и средство имитационного моделирования // Оборонный комплекс – научно-техническому прогрессу России. – 2021. – № 1. – С. 26-32.
5. Орлов С.П., Учайкин Р.А. Модели на раскрашенных сетях Петри для управления техническим обслуживанием компьютерного оборудования предприятия // Труды VII всероссийской научно-технической конференции. Проминжиниринг. – 2021. – С. 263-269.
6. Волхонская Е.Е., Орлов С.П. Системные модели парка автономных транспортных средств для виртуальных испытаний при организации технического обслуживания // Вестник астраханского государственного технического университета. Серия: управление, вычислительная техника и информатика. – 2023. – № 3. – С. 7-16.
7. Сусарев С.В., Орлов С.П., Бизюкова Е.Е., Учайкин Р.А. Моделирование процессов прогнозного технического обслуживания роботизированных агротехнических автомобилей // Математические методы в технологиях и технике. – 2021. – № 1. – С. 148-153.
8. Орлов С.П., Сусарев С.В. Система поддержки принятия решений при управлении техническим обслуживанием автономных транспортных средств // Онтология проектирования. – 2023. – Т. 13. – № 3. – С. 424-436.
9. Орлов С.П., Яковлева А.Е. Имитационная модель технического обслуживания парка автономных автомобилей в условиях дефицита запасных частей // Математические методы в технологиях и технике. – 2025. – № 3. – С. 67-73.
10. Кочкин Д.В., Горбунов В.А. Моделирование информационно-телекоммуникационной системы предприятия раскрашенными сетями Петри // Вестник череповецкого государственного университета. – 2024. – №1. – С. 48-58.
11. Кочкин Д.В. Моделирование информационной системы предприятия на базе аппарата раскрашенных сетей Петри // Сборник научных статей 9-ой Международной научно-практической конференции. Перспективное развитие науки, техники и технологий. – 2019. – С. 122-125.
12. Тихонов В.А. Новиков Верификация систем управления доступом на основе моделирования раскрашенными сетями Петри // Наукоемкие технологии в космических исследованиях земли. – 2021. – Т. 16. – № 6. – С. 50-59.
13. Гусейнзаде Ш.С. Моделирование интеллектуальных систем управления с применением модифицированных нечетких раскрашенных сетей Петри // Вестник компьютерных и информационных технологий. – 2020. – Т. 17. – №10. – С. 30-37.
14. Кизилов Е.А. Методика построения цветных сетей Петри, моделирующих работу цифрового автомата // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2017. – № 3. – С. 36-47.
15. Седых И.А., Аникеев Е.С. Применение раскрашенных временных сетей Петри для моделирования цементного производства // Вестник Донского государственного технического университета. – 2016. – № 4. – С. 140-145.
16. Седых И.А., Тамбовцев А.А. Применение раскрашенных вложенных сетей Петри для подбора мест хранения и отпуска продуктов // Вестник Воронежского института МВД России. – 2024. – № 3. – С. 76-85.
