Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
GRNTI 55.01 Общие вопросы машиностроения
GRNTI 55.13 Технология машиностроения
GRNTI 55.35 Металлургическое машиностроение
Calibration – a finishing operation of conical spur die forming is considered. A working surface of teeth of one of spurs is presented as an involute surface, and other – a modified tapered involute surface. The paper reports the procedure for the formation of tooth surfaces after calibration and before calibration taking into account an allowance chosen. An option of allowance distribution for calibration is offered.
calibration of conical spur, tapered involute surface, longitudinal and profiled modification of tooth side surface, allowance distribution
Постановка задачи
При обработке конических колес резанием обычно используется метод обкатки, при этом обработка производится инструментом с прямолинейными или криволинейными режущими кромками [1]. Синтез таких передач производится путем подбора наладок зубообрабатывающего станка и параметров инструмента, приблизительно обеспечивающих заданные размеры, форму и положение пятна контакта, а также преднамеренное отклонение от константы передаточного отношения при зацеплении [2 ‒ 7]. После этого определяется форма получаемых поверхностей путем математического моделирования процесса обработки [8, 9].
Обработка резанием является довольно медленным процессом. Штамповка зубчатых колес, рассматриваемая в предлагаемой работе, является значительно более производительным процессом. Этот вид обработки можно отнести к методу копирования, поскольку с точностью до технологических погрешностей поверхности зубьев изделия совпадают с поверхностями зубьев калибрующего инструмента. Эти поверхности, которые могут иметь самую разнообразную форму, могут быть изготовлены с использованием станков с числовым программным управлением. Поэтому разработку технологии изготовления необходимо начинать с расчета оптимальной формы зубьев готового изделия, а затем определять форму зубьев на предварительном этапе обработки с учетом выбранного припуска.
Штамповка зубчатого колеса из конической заготовки производится в несколько этапов. В статье рассмотрен лишь заключительный этап – финишная высокоточная операция ‒ калибровка, при которой толщина сминаемого слоя припуска мала.
Целью настоящей работы является построение рабочих поверхностей зубьев изделия, обеспечивающих локализованный контакт, а также поверхностей зубьев, которые необходимо иметь перед калибровкой с учетом распределения припуска. Предложен вариант распределения припуска под калибровку.
Так как работа нацелена на конические зубчатые колеса дифференциала заднего моста автомобиля, то используя устоявшуюся в автомобильном производстве терминологию, будем называть сателлитом меньшее из колес пары, а большее – полуосевой шестерней или просто шестерней.
Так как не ставится задача получения переходной поверхности, то, для простоты, будем обеспечивать только гладкий переход на границе между рабочей и переходной поверхностями.
Коническая эвольвентная поверхность
Для расчета поверхности с учетом припуска сначала определим поверхность, которую необходимо изготовить. Построим зацепляющиеся поверхности зубьев на основе эвольвентных конических поверхностей, описанных в работе [10]. Такие поверхности обеспечивают кинематически точное зацепление и линейный контакт зубьев.
Рассмотрим систему координат Oxyz, начало O которой находится в вершине делительного конуса, z – ось делительного конуса, а точки возврата сферических эвольвент расположены в плоскости Oxz.
Тогда координаты xi (Li, ji), yi (Li, ji), zi (Li, ji) точек поверхности определяются двумя параметрами: конусным расстоянием Li и углом ji [10]:
xi = xi(Li , ji) = Li (sinji sinyi + cosji cosyi sindbi);
yi = yi (Li , ji) = Li (-cosji sinyi + sinji cosyi sindbi); (1)
zi = yi (Li , ji) = Li cosyi cosdbi ji ,
где нижний индекс i = 1 определяет шестерню, i = 2 – сателлит; углы dpi – это углы делительных конусов; a – угол профиля; углы dbi основных конусов вычисляются так
dbi = arcsin(cosa sindpi). (2)
Параметр yi связан с параметром ji соотношением
yi = ji sindbi . (3)
Модифицированная коническая эвольвентная поверхность
Поверхности, определенные соотношениями (1)‒(3) обеспечивают постоянное передаточное отношение в процессе зацепления, однако, они не дают локализованного контакта. Без локализации пятно контакта может при наличии неизбежных погрешностей выходить на кромки зубьев, что будет приводить к резкой концентрации контактных давлений на кромках и способствовать быстрому износу и разрушению зубьев. Для локализации контакта введем профильный и продольный отводы поверхности зубьев шестерни внутрь зуба от поверхности, задаваемой с помощью (1) ‒ (3) при i = 1.
В работе [11] введены параметры синтеза, определяющие форму модифицированной рабочей поверхности зуба шестерни. К ним относятся: Lc – требуемое конусное расстояние до центра пятна контакта; d – смещение центра пятна контакта на сфере радиусом Lc относительно точки с нулевой профильной модификацией; a0 – полудлина мгновенного оттиска контакта при заданной толщине ε слоя краски при испытании зацепления на контрольно-обкатном станке; C – коэффициент, определяющий степень неравномерности передачи вращения.
В соотношениях, описывающих модифицированную боковую поверхность зуба шестерни, временно опустим нижний индекс i = 1.
Представим модификацию поверхности как поворот вокруг оси вращения шестерни радиус-вектора каждой точки боковой поверхности зуба на угол:
Dqm = δqL + δq1, (4)
где DqL – угол поворота, соответствующий продольной модификации боковой поверхности зуба, Dq1 – угол поворота радиус-вектора точки, соответствующий профильной модификации боковой поверхности зуба. Оба поворота осуществляются вокруг оси вращения шестерни и вычисляются по формулам:
DqL = - e/r [(L – Lc)/a0]2 ; (5)
Dq1 = - С(j – j0)2, (6)
где j0 – значение параметра j, соответствующее центру пятна контакта (точке нулевой профильной модификации, лежащей на пересечении боковой поверхности со сферой радиусом Lc); r – расстояние от точки поверхности до оси вращения шестерни.
Параметр j0 связан со смещением d центра пятна контакта на сфере радиусом Lc следующим образом.
Угол d0 конуса, на котором лежит точка нулевой модификации, определяется так
d0 = dp + d/Lc . (7)
Значение параметра y в точках пересечения сферической эвольвенты с углом конусом с углом d при вершине, соосным основному конусу с углом db , находится из уравнения:
L2(sin2y + cos2y sin2db) = L2 sin2d. (8)
В левой части (8) квадрат расстояния от точки до оси колеса вычислен на основании выражения (1), поскольку рассматриваемая точка принадлежит эвольвенте. В правой части эта же величина вычислена на основании того, что точка принадлежит поверхности конуса с углом d.
Угол y не зависит от L и определяется равенством:
. (9)
Правой стороне зуба соответствует знак «минус», левой стороне – знак «плюс». Связь величин j и y определяется соотношением (3).
Таким образом, с помощью соотношений (7)–(9) по заданному значению d рассчитывается величина j0 .
Значения параметров синтеза выбирают с помощью алгоритма имитации испытания пары на контрольно-обкатном станке [12] или алгоритма имитации работы пары под заданной нагрузкой [13]. Эти алгоритмы в предлагаемой работе не рассматриваются.
Модифицированная поверхность зуба шестерни вместо равенств (1) определяется соотношениями:
. (10)
Поверхность зуба сателлита не модифицируется, поэтому
. (11)
Уравнения (10), (11) определяют поверхности зубьев, подлежащие изготовлению.
Боковая поверхность зуба с учетом припуска
Припуск будем задавать в трех точках в сечении определенного радиуса отдельно для сателлита и шестерни. Далее нижний индекс, определяющий шестерню или сателлит, будет опущен. Каждую из трех точек будем задавать смещением hj (j = 1, 2, 3) относительно вершинной ленточки готового зуба и припуском Δhj в этой точке. Будем считать припуск Δh > 0, если точка с припуском расположена вне сечения готового зуба, и Δh < 0, если точка с припуском расположена внутри сечения готового зуба.
Припуск определяется семью параметрами, которые задаются в сферическом сечении, проходящем вблизи средней точки зуба. К ним относятся:
‒ радиус Lc сферы, в сечении которой задают значения смещений и припуска в трех точках;
‒ смещение h1 вершинной кромки зуба в направлении перпендикулярном кромке (положительное смещение направлено вниз). Смещение h1 равно расстоянию между вершинными ленточками готового зуба и зуба перед калибровкой;
‒ значения припуска Dh1, Dh2, Dh3 , равные половине увеличения окружной толщины зуба в заданном сечении. Величина Dh1 определена на вершинной ленточке заготовки зуба перед калибровкой. Величины Dh2 и Dh3 определены соответственно на расстояниях h2 и h3 от вершинной ленточки готового зуба.
Точки 1, 2, 3, лежащие на окружности радиусом Lc , показаны на рис.1. Там же показана тонкой линией вершина готового зуба, отстоящая от вершины заготовки на расстоянии h1 .
Рис. 1
Пусть 
– координаты точки поверхности готового зуба, тогда координаты этой же точки перед калибровкой определяются следующим образом:
; 
; 
, (12)
где
, (13)
r – расстояние от точки до оси вращения колеса; Dh – припуск в рассматриваемой точке.
Каждую точку боковой поверхности зуба определим двумя параметрами L и d. Здесь d – полярный угол, отсчитываемый от оси изделия (оси z), точки пересечения сферы радиусом L c поверхностью зуба. Тогда окружная толщина Dh слоя припуска может быть представлена как функция переменных L и d:
Dh = Dh(L, d). (14)
Обозначим DhL толщину слоя припуска вдоль линии пересечения боковой поверхности зуба со сферой радиусом L.
Толщина DhL при d ³ de изменяется по параболическому закону:
DhL(d, L) = A0 (L) +A1(L) d + A2(L) d2, (15)
а при d ≤ de – по линейному закону:
DhL(d, L) = A0(L) + A1(L) de + A2(L) (de)2 + [A1(L) + 2A2(L)] (d – de), (16)
где de – угол наклона границы эвольвентной части зуба к оси z (de > db ).
На рис.1 представлены следующие величины. Угол d3L – это полярный угол точки 3, лежащей на сфере произвольного радиуса L, т.е. это угол между осью колеса и прямой, проходящей через вершину делительного конуса и точку 3. Аналогичные полярные углы для точек 1 и 2 на сфере радиуса L обозначены dUL и d2L соответственно. Полярные углы d3 , dU и d2 определяются аналогично d3L , dUL и d2L , но для сферы радиусом Lc .
Коэффициенты A0 , A1 , A2 определим из следующего условия: в точках 1, 2 и 3, лежащих на окружности с радиусом L, функция Dh принимает заданные значения Dh1, Dh2, Dh3 , т.е. такие же, как в точках 1, 2, 3 на окружности радиуса Lc . Это условие может быть записано в виде системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов:
Dh(dUL) = A0 + A1dUL + A2 (dUL)2 = Dh1;
Dh(d2L) = A0 + A1d2L + A2 (d2L)2 = Dh2; (17)
Dh(d3L) = A0 + A1d3L + A2 (d3L)2 = Dh3.
Коэффициенты A0 , A1 , A2 одинаковы для всех точек произвольной окружности радиуса L и равны
A2 = [(Dh1 - Dh2) (dUL - d3L) – (Dh1 - Dh3) (dUL - d2L)]/b;
A1 = (Dh1 - Dh2)/ (dUL - d2L) – A2 (dUL + d2L); (18)
A0 = Dh1 – A1 dUL – A2 (dUL)2,
где
b = (dUL - d2L) (dUL - d3L) (d2L - d3L). (19)
Полярные углы d2 , d3 точек 2 и 3 на окружности радиуса Lc определяются приближенными соотношениями:
; 
. (20)
При условии, что точки 2 и 3 на любой окружности радиуса L делили угол (dUL - dfL) между образующими конуса вершин и конуса впадин в той же пропорции, в которой делят угол (dU - df) точки 2 и 3, заданные на окружности Lc , получим выражения:
(dU - d2) / (dU - df) = p2 = (dUL - d2L) / (dUL - dfL); (21)
(dU - d3) / (dU - df) = p3= (dUL - d3L) / (dUL - dfL). (22)
Из формул (21) и (22) следует, что
d2L = dUL – p2 (dUL - dfL); d3L = dUL – p3 (dUL - dfL). (23)
При этом величины p2 и p3 , не зависящие от величины L, определяются первыми равенствами в соотношениях (21) и (22).
Распределение припуска по поверхности зуба
Требуемое распределение припуска по поверхности зуба может быть получено путем подбора шести параметров припуска: h1 , h2 , h3 , Dh1 , Dh2 , Dh3 . Подбор параметров припуска предлагается осуществлять из следующих соображений. На рис. 2 показаны половины сечений зуба сферой радиусом Lc до калибровки (с учетом припуска, рис. 2, а) и после калибровки (готового зуба, рис. 2, б). На рис. 2, в оба сечения наложены друг на друга. Разница между этими сечениями представлена в виде трех площадей: S1, S2 и S3. Причем каждая из них имеет знак «+», если площадь расположена за границей готового зуба, и «–», если площадь расположена внутри границы готового зуба. Точка 4 обозначает границу между рабочей (эвольвентной) и переходной поверхностями.
Рис. 2
Например, (см. рис. 2) S1 < 0; S2 > 0; S3 < 0 и Dh3 = 0.
Сумма площадей S1 + S2 + S3 показывает разницу между половиной площади готового зуба и половиной площади зуба под калибровку, т.е.
Sкалиб. – Sготов. = S1 + S2 + S3. (24)
Предполагается, что металл из области с площадью сечения S2 должен распределиться на две области с площадями сечения S1 и S3.
Если S1 + S2 + S3 < 0, то это будет означать, что металла, оставленного на припуск перед калибровкой, не хватит для заполнения готового зуба.
Упомянутые площади являются площадями криволинейных трапеций, расположенных на сфере радиусом L (рис.3).
Рис. 3
Расчет этих площадей осуществляется с помощью интеграла:
. (25)
Для этого использована сферическая система с координатами d и q, где δ – широта, отсчитываемая от плоскости x = 0; θ – долгота, отсчитываемая от плоскости xz (см. рис. 3).
В этой системе четыре линии, ограничивающие трапецию, могут быть записаны в виде: d = du , d = dd , q = q1 (d) и q = q2 (d). Площадь S трапеции представляется как сумма бесконечно узких полос, каждая из которых имеет площадь dS = r·q(d)L dd, где r = L sind, а функции q1 (d) и q2 (d) определены своими дискретными значениями qik = qi (dk) (i = 1,2) в нечетном числе М равноотстоящих друг от друга узлах
d = dk = du – (du – dd ) (k-1)/(M-1), (k = 1, 2, …, M). (26)
Углы du и dd определяют головку и ножку зуба соответственно.
Интеграл (25) вычисляется с помощью формулы Симпсона.
В качестве примера расчета рассмотрим прямозубую коническую ортогональную передачу с числами зубьев 11 ‒ 20, внешний окружной модуль me = 5 мм, среднее конусное расстояние R = 50,06 мм. На рис. 4 а, б показано распределение припуска в сечении зуба сателлита сферой радиусом 50,09 мм, полученное при двух различных значениях параметра Δh3 и одинаковых значениях всех остальных параметров припуска.
Значения параметров припуска для двух вариантов даны в табл.1. Результаты расчета площадей представлены в табл. 2.
Рис. 4
Табл. 1
Табл. 2
Анализ результатов расчета для двух вариантов показал следующее. В варианте 1 половина площади Sкалиб сечения зуба с припуском под калибровку меньше на 0,639 мм2 по сравнению с половиной площади Sготов сечения готового зуба. Это означает, что оставленного на припуск металла не хватит на формирование готового зуба.
В варианте 2 Sкалиб > Sготов , что является необходимым условием для правильного формирования припуска. Однако окончательное суждение о том, какое значение S1+S2+S3 является оптимальным, можно сделать только на основании экспериментов.
Заключение
Описанная в статье методика может быть использована технологами для целенаправленного выбора припуска перед финишной штамповочной операцией.
1. Medvedev, V.I., Sheveleva, G.I. Tooth side surface ma-chining in conical and hypoid gears by tools with toroidal sur-face // Problems of Mechanical Engineering and Machinery Reliability. - 2002. - No.2. - pp. 69-75.
2. Litvin, F.L. Theory of Gearings. - M.: Science. 1968. - pp. 584.
3. Lopato, G.A., Kabatov, N.F., Segal, M.G. Tapered and Hypoid Gearings with Circular Teeth. - M.: Mechanical Engi-neering. 1977. - pp. 424.
4. Syzrantsev, V.N. Methods of synthesis of gears mesh with barrel-shaped, corset and arched teeth / Gears and Transmissions. - 1996. - No.2. - pp. 34-44.
5. Medvedev, V.I. Synthesis of run-in non-orthogonal ta-pered and hypoid gear pairs // Problems of Mechanical Engi-neering and Machinery Reliability. - 1999. - No.5. - pp. 3-12.
6. Medvedev, V.I., Sheveleva, G.I. Synthesis of spiral be-vel gears on conditions of teeth contact strength // Problems of Mechanical Engineering and Machinery Reliability. - 2002. - No.4.
7. Volkov A.E., Akimov V.V., Lagutin S.A. New Ap-proach to the Local Synthesis of Spiral Bevel Gears // Proceedings of the 10th Int. ASME Power Transmission And Gearing Conference. September 4-7. 2007. Las Vegas. Nevada. USA. PP.13-17.
8. Medvedev, V.I., Matveenkov, D.S. On formation of cir-cular teeth optimum surfaces in conical pairs // Bulletin of MSTU “Stankin”. - 2009. - No.1 (5). - pp. 59-64.
9. Sheveleva, G.I., Volkov, A.E., Medvedev, V.I., Shukharev, E.A. Computer modeling of tapered and hypoid gears // Conversion in Mechanical Engineering. - 1997. - No.6. - pp. 57-65.
10. Kolchin, N.I. Analytical Calculation of Flat and Spatial Meshes (with appendix to cutter profiling and error calcu-lations in meshes). - M.-L.: Machgiz. 1949. - pp. 19-95.
11. Medvedev, V.I., Volkov, A.E., Biryukov, S.S. Algo-rithms of synthesis and analysis of involute tapered spurs with localized contact // Bulletin of MSTU “Stankin”. - 2019. - No.1 (48). - pp. 98-105.
12. Sheveleva, G.I., Volkov, A.E., Medvedev, V.I. Calcu-lation of contact pressures in tapered gears at different tooth types // Problems of Mechanical Engineering and Machinery Reliability. - 2003. - No.2. - pp. 63.
13. Sheveleva, G.I., Volkov, A.E., Medvedev, V.I. Raschet kontaktnyh davleniy v konicheskih peredachah pri raznyh modelyah zub'ev // Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin. - 2003. - № 2. - S. 63.
