Орел, Орловская область, Россия
Орел, Орловская область, Россия
Орел, Орловская область, Россия
УДК 62 Инженерное дело. Техника в целом. Транспорт
ГРНТИ 55.03 Машиноведение и детали машин
Изложены элементы прикладной теории новых базовых моделей виброзащитных систем с дополнительными управляемыми устройствами прерывистого действия - механизмом наложения связей и импульсной ловушкой. Показано, что данные системы устраняют резонансные явления и обеспечивают затухание переходных процессов в пределах одного периода вынужденных колебаний.
динамика, управление, демпфирование, виброзащитная система, механизм наложения связей, импульсная ловушка
Введение
Модернизация существующих и создание новых машин и механизмов высокой производительности, долговечности и надёжности во многом зависит от решения научных проблем, связанных с обеспечением вибрационной безопасности технических объектов, эксплуатация которых происходит в условиях интенсивных динамических воздействий [1-4].
Обеспечение нормативных показателей вибрационного состояния в различных зонах машин достигается посредством использования для этих целей как пассивных, так и управляемых виброзащитных систем [5-7]. При этом необходимо учитывать, что динамические свойства данных систем проявляются только во взаимодействии с защищаемым объектом как частью машины, отражающей специфику её функционирования [8; 9].
Известно, что пассивные виброзащитные системы обеспечивают снижение интенсивности колебаний защищаемого объекта только при узкополосном спектре кинематического возмущения и отсутствии силового возмущения. Чтобы избежать резонансных явлений, производят отстройку частот. Однако при этом неизбежно ухудшаются инвариантные свойства системы по восприятию силового воздействия. Кроме того, «срезание» резонансных пиков посредством увеличения демпфирования негативно сказывается на динамических свойствах системы в области высоких частот. Очевидно, что в классе пассивных виброзащитных систем преодолеть указанные противоречия невозможно [6; 10]. В связи с этим активные виброзащитные системы, управление в которых непосредственно отождествляется с компенсационным воздействием и характеризуется как прямое управление, а также виброзащитные системы с непрямым управлением, формирующие компенсационные воздействия опосредованно - за счёт существенно нелинейных эффектов в упругодемпфирующих и инерционных звеньях, являются более перспективными [11-14].
Особый интерес представляют предельные варианты управления, приводящие к скачкообразному изменению структуры системы, когда управление периодически резко возрастает ( ) и обнуляется (
). Последовательное чередование данных управлений определяет так называемое непрямое импульсное управление параметрами демпфирования и жёсткости дополнительного (управляемого) упругодемпфирующего звена прерывистого действия [15-17]. При этом независимо от типа используемых управляемых звеньев, таких как демпфер вязкого сопротивления, фрикционный демпфер или упругий элемент, достигаемый эффект виброзащиты, при всех прочих равных условиях, будет одинаков. В данном случае управляемые звенья имитируют работу механизма наложения связей, то есть периодически блокируют виброзащитную систему, что позволяет существенно улучшить её динамические свойства за счёт нового параметра, определяющего длительность таких блокировок. В частности, можно рассматривать также имитацию работы импульсной ловушки, реализующей локальные мгновенные (импульсные) блокировки системы, в результате которых скорость защищаемого объекта периодически становится равной нулю.
В предлагаемой статье приводятся результаты исследований уникальных антирезонансных и противоударных свойств базовых моделей виброзащитных систем с управляемым механизмом наложения связей. Показано, что данный класс управляемых систем виброзащиты устраняет резонансные явления и обеспечивает затухание переходных процессов в пределах одного периода внешних возмущений - в режиме «один толчок - одно колебание».
Математические модели
Рассмотрим модель виброзащитной системы с дополнительным управляемым демпфером вязкого сопротивления, которая предназначена для защиты объектов от кинематических воздействий:
(1)
В этой модели вязкое сопротивление дополнительного демпфирующего звена отождествляется с управлением
, что позволяет перейти к базовой модели с управляемым механизмом наложения связей, представленной ниже в безразмерном виде:
(2)
Здесь - безразмерные аналоги кинематического возмущения с характерной амплитудой
и частотой
;
,
- перемещение и скорость объекта (массы
);
- безразмерное время;
- управление, отождествляемое с вязким сопротивлением;
- относительное демпфирование;
- относительная (безразмерная) частота;
- параметр, определяющий длительность блокировки системы.
В частном случае, когда виброзащитная система (2) имитирует работу импульсной ловушки, имеем:
(3)
Рассмотрим также модель виброзащитной системы (виброизоляции), которая предназначена для защиты несущих элементов от воздействия виброактивных объектов:
(4)
Наличие в этой модели управляемого демпфера вязкого сопротивления позволяет реализовать предельные варианты прерывистого демпфирования и перейти к базовой модели с управляемым механизмом наложения связей, представленной ниже в безразмерном виде:
(5)
Здесь преобразование силового воздействия к безразмерному виду
производится с использованием вспомогательного параметра
имеющего размерность «метр». Так, если
, то
(амплитуда
или
). Если же силовое воздействие зависит от инерционной составляющей, например
то, полагая, что амплитуда
получим
При этом
,
– перемещение и скорость виброактивного объекта (массы
), а остальные переменные и параметры в (5) такие же, как и для базовой модели (2).
В частном случае, когда базовая модель (5) имитирует работу импульсной ловушки, имеем:
|
23 |
В работе [6] авторами данной статьи было высказано предположение относительно того, что «базовые модели (1) - (6), в которых механизм наложения связей периодически резко увеличивает вязкое сопротивление и тем самым воспроизводит процесс ударного или ударно-блокирующего демпфирования колебаний, позволяют реализовать оптимальные последовательности программируемых «мгновенных» переводов системы из одного состояния в другое, при которых достигается минимизация принятого показателя качества на траекториях движения системы, состоящих из кусков границ допустимой области и кусков сопряжённых экстремалей. Упорядоченные и расширенные последовательности срабатываний механизма наложения связей и их длительности являются новыми переменными, существенно повышающими управляемость системы по сравнению, например, с вариантом пассивных ограничителей. Причём для непрямого импульсного управления характерен определённый минимум энергозатрат, не зависящий от достигаемого эффекта виброзащиты».
Результаты расчётов и моделирования
Случай кинематического воздействия. В данном разделе приведены исследования авторов, которые уже были опубликованы ими в статье [6].
В пределе, когда , базовая модель (3) имитирует периодические процессы ударного демпфирования и имеет качественно новое описание - дифференциальные уравнения движения объекта между соударениями дополняются конечными соотношениями, определяющими начальные условия:
(7)
(8)
Здесь в моменты времени положение объекта фиксируется относительно подвижного основания и скорость объекта становится равной нулю. Длительность фиксации
Будем искать периодические решения дифференциального уравнения (7) при детерминированном кинематическом возмущении:
Вначале из общего решения дифференциального уравнения (7)
(9)
определим постоянные интегрирования и
, используя соотношения (8) на i-м интервале движения объекта:
После несложных преобразований получим:
(10)
В (9) и (10) приняты следующие обозначения безразмерных переменных и параметров:
|
24 |
(11)
где
С учётом постоянных интегрирования (10) и начального смещения (11) общее решение (9) описывает движение объекта в пределах полупериода установившихся (периодических) колебаний.
Результаты расчётов коэффициентов динамичности по перемещению произведённых с использованием общего решения (9) и уравнений (10), (11), сведены в табл. 1. Там же приведены предельные (минимально достижимые на заданной частоте
) значения коэффициентов динамичности
и
базовой модели (2) с конечным временем срабатывания механизма наложения удерживающих связей
и
соответственно. Эти данные получены в результате моделирования работы базовой модели (2) при кинематическом гармоническом возмущении.
Для сравнения в двух нижних строках табл. 1 приведены соответствующие значения коэффициентов динамичности неуправляемой (пассивной) виброзащитной системы. В нашем случае это базовая модель (2) при
Таблица 1
Результаты расчётов базовых моделей
систем виброзащиты с непрямым импульсным управлением
|
|
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
|
|
Kd0 |
1,542 |
2,244 |
1,231 |
0,692 |
0,521 |
0,374 |
0,277 |
0,212 |
0,1 |
|
1,517 |
1,952 |
1,213 |
0,527 |
0,387 |
0,291 |
0,225 |
0,180 |
0,2 |
|
|
∆1 Kd1 |
0,68 |
0,48 |
0,32 |
0,26 |
0,22 |
0,18 |
0,15 |
0,12 |
0,1 |
|
0,788 |
0,538 |
0,237 |
0,156 |
0,118 |
0,095 |
0,089 |
0,072 |
||
|
∆2 Kd2 |
0,71 |
0,53 |
0,29 |
0,19 |
0,17 |
0,14 |
0,12 |
0,10 |
0,2 |
|
0,889 |
0,736 |
0,504 |
0,271 |
0,199 |
0,158 |
0,134 |
0,117 |
||
|
Kd |
1,547 |
2,571 |
5,099 |
2,052 |
1,038 |
0,659 |
0,468 |
0,336 |
0,1 |
|
1,505 |
2,180 |
2,693 |
1,703 |
1,031 |
0,704 |
0,524 |
0,412 |
0,2 |
Дополнительные результаты проведённых расчётов в виде характерных графиков компонент состояния базовой модели с импульсной ловушкой, имитирующей процесс ударного демпфирования, когда параметр и процесс наложения удерживающей связи, когда параметр
приведены на рис. 1 и 2.
В отличие от неуправляемых виброзащитных систем базовая модель с импульсной ловушкой позволяет существенно снизить уровни колебаний объекта как в области низких (дорезонансных), так и в области высоких (зарезонансных) частот.
|
25 |
Рис. 1. Графики расчётных зависимостей:
имитация ударного демпфирования
(
Далее циклический процесс повторяется. Заметим, что в области высоких (зарезонансных) частот перепад скорости объекта в момент срабатывания импульсной ловушки уменьшается с увеличением относительной частоты.
В процессе наложения удерживающих связей параметр , как элемент непрямого управления, позволяет исключить проявление резонансных явлений и достичь предельных показателей виброзащиты в рабочем диапазоне частот кинематического воздействия. При этом регламентированное увеличение продолжительности наложения удерживающей связи в области низких частот и, соответственно, уменьшение этой продолжительности в области высоких частот обеспечивает монотонно убывающую зависимость для коэффициентов динамичности на всём диапазоне частот. Заметим, что приведённые в табл. 1 и на рис. 2 значения параметра
являются оптимальными, то есть их изменение приведёт к увеличению амплитуд колебаний объекта.
В результате моделирования установлено, что переходные процессы, вызываемые начальными условиями или случайными флуктуациями внешних возмущений, затухают в пределах одного периода кинематического воздействия.
Случай силового воздействия. В базовых моделях управляемых систем виброизоляции (5) и (6), которые предназначены для защиты несущих элементов от силового воздействия, использован новый ограничительный параметр косвенно определяющий длительность интервала блокировки системы. Определение данного параметра связывается с достижением минимума пиковых нагрузок и выполнения неравенства:
|
26 |
Рис. 2. Графики расчётных зависимостей: имитация наложения
удерживающих связей ( )
В более общем случае требуется обеспечить минимум среднеквадратических значений и выполнение неравенства
(13)
где
- среднеквадратические значения динамической нагрузки соответственно для управляемой и пассивной систем.
Будем искать периодические решения при детерминированном силовом возмущении:
Рассмотрим три временных интервала движения системы: ,
На первом и третьем интервалах движения система виброизоляции заблокирована и динамическая нагрузка
на втором – разблокирована, динамическая нагрузка
|
27 |
Кроме того, следует полагать, что если система заблокирована, то на первом интервале движения а на третьем -
Моменты переключений механизма наложения связей:
(15)
Движение виброактивного объекта на интервале описывается следующими уравнениями:
(16)
(17)
В этих уравнениях и
- постоянные интегрирования. Также используются следующие дополнительные безразмерные параметры:
Составим замкнутую систему уравнений для определения постоянных интегрирования ,
и смещения (значения фазовой координаты)
при которых имеет место периодическое (установившееся) движение базовой модели (5):
|
26 |
(18)
Программа для решения данной системы трансцендентных уравнений представлена на рис. 3. Там же приведены характерные графики перемещения и скорости
виброактивного объекта, а также графики динамической нагрузки
и силового воздействия (синусоида).
Отмечается, что графики динамических нагрузок имеют разрывы первого рода в точках, которые соответствуют моментам срабатывания механизма наложения удерживающих связей (моментам блокировки и разблокировки системы). Однако если обеспечивается минимум значений пиковых нагрузок (12), то разрывы первого рода наблюдаются только в момент разблокировки системы.
|
28 |
В отличие от неуправляемых систем виброизоляции базовая модель с механизмом наложения связей позволяет существенно снизить уровни динамических нагрузок, воспринимаемых несущим основанием, как в области низких (дорезонансных), так и в области рабочих частот Условия неравенств (12) и (13) выполнены. Динамические нагрузки монотонно уменьшаются с увеличением частоты силового возмущения, и, как следствие, проявление резонансных явлений исключается. Данные выводы сделаны на основе результатов расчёта пиковых нагрузок и среднеквадратических значений динамических нагрузок, которые сведены в табл. 2.
Отмечается, что увеличение фонового демпфирования приводит к увеличению пиковых значений динамических нагрузок на всем рассматриваемом частотном диапазоне силового возмущения. Тем не менее среднеквадратические значения динамических нагрузок достигают определённого минимума при фоновом демпфировании
Таблица 2
Результаты расчётов базовой модели системы виброизоляции
с механизмом наложения связей
|
|
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
|
|
|
0,90 |
0,84 |
0,75 |
0,68 |
0,58 |
0,50 |
0,43 |
0,37 |
0,0 |
|
|
0,571 |
0,522 |
0,471 |
0,409 |
0,371 |
0,325 |
0,282 |
0,248 |
|
|
|
0,91 |
0,85 |
0,77 |
0,71 |
0,64 |
0,57 |
0,52 |
0,45 |
0,2 |
|
|
0,546 |
0,512 |
0,441 |
0,390 |
0,336 |
0,288 |
0,254 |
0,223 |
|
|
|
0,93 |
0,91 |
0,82 |
0,75 |
0,69 |
0,63 |
0,58 |
0,53 |
0,4 |
|
|
0,562 |
0,519 |
0,458 |
0,429 |
0,359 |
0,315 |
0,281 |
0,252 |
Рис. 3. Листинг программы для моделирования работы
базовой модели (6)
|
29 |
|
|
На рис. 4 представлены характерные графики перемещения и скорости
виброактивного объекта, а также график динамической нагрузки
и графики, характеризующие силовое возмущение.
|
|
Рис. 4. Графики расчётных зависимостей: имитация
наложения удерживающих связей
Следует отметить, что механизм наложения связей оказывает также определённое нивелирующее (ослабляющее) влияние и на процессы, генерируемые виброактивным объектом. Это обстоятельство необходимо учитывать при разработке соответствующих технологических машин, для поддержания рабочих режимов которых требуется высокий уровень интенсивности колебаний.
Заключение
Разработаны новые базовые модели виброзащитных систем с дополнительными управляемыми устройствами прерывистого действия - механизмом наложения связей и импульсной ловушкой.
По результатам исследования динамических свойств данных систем можно сделать следующие основные выводы:
|
30 |
- резонансные явления устраняются (в установившихся режимах колебаний амплитуды колебаний объекта монотонно уменьшаются с увеличением частоты кинематического гармонического возмущения);
- переходные процессы, вызываемые начальными условиями или случайными флуктуациями внешних возмущений, затухают в пределах одного периода внешнего воздействия, то есть реализуется процесс, который характеризуется как «один толчок - одно колебание»;
- инвариантность системы по отношению к силовым возмущениям в результате периодических блокировок существенно повышается, и, как следствие, можно уменьшать жёсткость несущего упругого элемента, не опасаясь потери устойчивости;
- энергетические затраты на реализацию непрямого импульсного управления связаны только с процессом «включить-выключить», который может быть запрограммирован через компоненты состояния системы в относительном движении посредством актуализации конструктивных свойств системы.
1. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учётом неудерживающих связей. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.
2. Чернышев В.И., Савин Л.А., Фоминова О.В. Роторная динамика: гироскопические эффекты и управление // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2016. № 5. С. 3-8.
3. Аврамов К.В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. М.-Ижевск: Ин-т компьютер. исслед. 2015. Т. 2. 700 с.
4. Chernyshev V.I., Savin L.A., Fominova O.V. Dynamics of the rotor on elastic-damping supports under action of kinematic effects // IOP Conference. Series: Materials Science and Engineering. 2017. Vol. 233, no. 1. Р. 012055.
5. Фоминова О.В. Прерывистое демпфирование в системах виброзащиты: основы теории, приложения. М.: Машиностроение-1, 2005. 256 с.
6. Чернышев В.И., Савин Л.А., Фоминова О.В. Непрямое управление колебаниями: элементы теории // Труды СПИИРАН. 2019. Т. 18, № 1. С. 148-175.
7. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.
8. Genfeng L., Jing J., Yuhe L., Ming Z. Impact of system anisotropy on vibration reduction of rotating machinery and its evaluation method // Mechanical Systems and Signal Processing. 2017. Vol. 93. Р. 299-311.
9. Balthazar J.M., Goncalves P.B., Fenili A. Nonlinear vibrations in elastic structures: Dynamics and control // Shock and Vibration. 2013. Vol. 20, no. 6. Р. 1031-1032.
10. Ibrahim R.A. Recent advances in nonlinear passive vibration isolators // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 314, no. 3-5. Р. 371-452.
11. Balandin D.V., Bolotnik N.N., Pilkey W.D. Pre-acting control for shock and pact isolation systems // Shock and Vibration. 2005. Vol. 12, no. 1. Р. 49-65.
12. Tang B., Brennan M.J. On the shock performance of a nonlinear vibration isolator with high-static-low-dynamic-stiffness // International Journal of Mechanical Sciences. 2014. Vol. 81. Р. 207-214.
13. Фоминова О.В., Белозёрова Е.Б., Чернышев В.И. Система виброизоляции с управляемым демпфером // Справочник. Инженерный журнал. 2012. № 6. С. 3-10.
14. Фоминова О.В., Белозёрова Е.Б., Чернышев В.И. Моделирование работы виброизолятора с демпфером прерывистого действия // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2012. № 2. С. 30-37.
15. Бенсуан А., Лиож Ж. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1987. 596 с.
16. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2003. 256 с.
17. Фоминова О.В., Савин Л.А., Чернышев В.И. Теоретические аспекты формирования оптимальных управляемых процессов виброзащиты // Известия Юго-Западного государственного университета. Техника и технологии. 2013. № 3. С. 44-50.
