Брянск, Брянская область, Россия
Брянск, Брянская область, Россия
УДК 621.2.082.18 трения
Адекватная оценка контактного взаимодействия шероховатых поверхностей при малых номинальных контактных давлениях (до 2 МПа) невозможна без учёта микрогеометрии сопряжённых поверхностей, а сложная картина образования фактических пятен контакта требует применение имитационного моделирования контактного взаимодействия реальных 3D карт инженерных поверхностей или их моделей, которыми являются фрактальные поверхности. Описание фрактальной поверхности требует знания фрактальной размерности профиля D (поверхности DS = D + 1) и параметра фрактальной шероховатости G. Эти фрактальные параметры определяют такие структурные особенности модели поверхности, как радиус кривизны верхней части выступа и критерий перехода от пластической деформации выступа к упругой. Контактное взаимодействие фрактальной поверхности с гладкой жёсткой плоской поверхностью предполагает, что вследствие наличия субшероховатости на наноуровне вначале происходит пластическая деформация субмикронеровностей, а затем по мере увеличения нормальной нагрузки происходит формирование упругого пятна контакта. В статье рассматривается случай, когда описание модели поверхности потребовало использование еще одного параметра – размерности DXY пятен контакта, которое включает число неровностей, находящихся в контакте с площадью, больше выбранной. Известные фрактальные модели Маджумдара-Бхушана и др. предполагают, что размерность поверхности и DXY численно совпадают друг с другом, что не является истиной. В статье дано сравнение результатов моделирования для случаев, когда рассматриваемые фрактальные размерности имеют разные и одинаковые значения, и показана величина ошибки при оценке нагрузочной способности контакта сопряжённых поверхностей.
фрактальная размерность, распределение площадей среза неровностей, фактическая площадь контакта, дискретный контакт шероховатых поверхностей
Введение
Известные фрактальные модели [3 − 5] основаны на допущении о том, что для геометрического описания поверхности достаточно знать её фрактальную размерность D и параметр фрактальной шероховатости G. При этом фрактальная размерность является фактором, от которого зависит соотношение между нагрузкой и площадью среза выступа. Для оценки параметров множественного контакта используют размерное распределение площадей среза. Модели [8 − 10] учитывают, что соотношение площади среза и несущей способности пятна контакта зависит от того, в каком состоянии находится деформируемая неровность. Размерное распределение площадей пятен контакта (среза при рассмотрении контакта деформируемой фрактальной поверхности с гладкой твердой поверхностью) связывают с той же фрактальной размерностью, что и для поверхности.
В данной работе рассматривается случай, когда фрактальная размерность D как поверхности, так и фрактальная размерность, входящая в размерное распределение площадей среза DXY, имеют разные значения. Приведена методика определения фрактальной размерности DXY.
Определение фрактальной размерности DXY
Полагаем, что число неровностей, площадь которых больше а, определяется как:
где 
− наибольшая площадь среза выступа;
− фрактальная размерность (обозначим ее через 
в случае, когда она отличается от фрактальной размерности профиля).
Распределение площадей среза неровностей фрактальной шероховатой поверхности представлено на рис. 1.
Распределение площадей среза шероховатой поверхности плоскостью, параллельной средней плоскости, зависит от структурных особенностей рассматриваемой поверхности. Процедура определения закона распределение площадей среза поверхности потребовала разработать соответствующее программное обеспечение [7] (рис. 2). Анализ площадей среза неровностей на некотором расстоянии от линии выступов позволяет найти количество площадок, их размеры и количество площадей, превышающих заданное значение 
Разработанное программное обеспечение дает [9] оценку размеров площадей среза (в условных единицах) (рис. 2).
Найденные значения площадей среза неровностей ранжируем в списке Excel по убыванию {1,080205; 0,478377; 0,478377; 0,451371; … }T. Затем определяем число площадей среза, превышающих заданное значение Этому значению соответствует отношение где
максимальная площадь среза из рассматриваемого списка
( .
В качестве примера полученные площади среза подвергнем сортировке по убыванию (выделена выборка из 57 данных):
Обозначив через y число площадей среза, а через x – отношение 
выразим их связь в виде графика (рис. 3).
Зависимость числа неровностей
характеризуется степенной зависимостью
Тогда Следует сказать, что фрактальная размерность профиля (поверхности) для рассматриваемой поверхности равна D = 1,2868 (DS = D + 1 = 2,2868).
Профиль фрактальной поверхности описывается функцией Вейерштрасса-Мандельброта:
где D − фрактальная размерность профиля;
G − параметр фрактальной шероховатости.
В соответствии с рис. 4, и, учитывая уравнение профиля выступа, запишем:
где
Радиус закругления верхней части выступа равен [9]:
Критическая площадь
В качестве критерия перехода от пластического состояния выступа к упругому, согласно [1], примем:
С другой стороны:
Учитывая значение радиуса, найдем:
Зависимость нормальной нагрузки от площади среза в условиях упругой деформации в соответствии с теорией Герца, имеет вид [9]:
где − модули упругости и коэффициенты Пуассона сопряженных поверхностей.
Для пластической деформации выступа соотношение между нагрузкой и площадью среза запишем так:
где − твердость материала выступа.
В случае упругой деформации связь между площадями среза и пятна контакта определяется соотношением Критерий перехода от пластической деформации выступа к упругой представим соотношением 
В соответствии с [1], запишем:
Множественный контакт
Контактное взаимодействие определяется следующим соотношением:
Найдем зависимости фактической площади контакта от нормальной нагрузки и сравним результаты для случаев, когда
при следующих исходных данных: D = 1,459; c = 1; твердость Н = 3000 МПа.
Ra = 0,8 мкм;
;
Зависимости фактической площади контакта от нормальной нагрузки для разных случаев представлены на рис. 5.
В рассматриваемом диапазоне изменения нагрузки принятие одинаковыми фрактальную размерность поверхности и размерность (показатель степени), определяющую размерное распределение площадей среза неровностей фрактальной поверхности описывает зависимость с меньшим угловым коэффициентом по сравнению с зависимостью, когда
Зависимость относительной факти-ческой площади контакта от нормального давления (отношения нагрузки к номинальной площади контакта) представлена на рис. 6. Номинальная площадь контакта определялась [1] как:
где − дополнительная функция ошибки; − зазор между средней линией профиля фрактальной поверхности и положением гладкого жесткого тела (рис. 7).
Зависимости сближения от нагрузки приведены на рис. 8.
Таким образом можно сделать вывод, что фрактальные модели имеют разное решение контактной задачи для случая одинакового значения фрактальной размерности профиля и распределения пятен контакта, и разного значения.
Обсуждение
Функциональные свойства поверхности определяются ее качеством – физико-механическими свойствами материала и топографическими особенностями. Для оценки эксплуатационных показателей используют те или иные модели исследуемой поверхности и зависимости, характеризующие контактное взаимодействие как единичной неровности, так и множественного контакта. Фрактальные модели отражают слабонагруженный контакт, когда существенное влияние на параметры контактного взаимодействия оказывают субмикронеровности. Моделирование взаимодействия фрактальных поверхностей дает возможность получить количественные результаты с требуемой точностью. Допущения, принимаемые в модели, должны быть так или иначе обоснованы. Уточненная фрактальная модель, предложенная в статье, отличается от известных фрактальных моделей тем, что размерность DXY (показатель степени в выражении для числа пятен среза на определенном уровне шероховатой поверхности отличается от фрактальной размерности поверхности. Для обоснования этого допущения было разработано программное обеспечение и представлена методика оценки DXY.
Выводы
- Рассмотрена модель контактного взаимодействия слабонагруженного стыка, учитывающая условие, что фрактальная размерность поверхности отличается от показателя степени DXY, определяющей размерное распределение площадей среза неровностей.
- Предложена методика оценки DXY с использованием разработанного в данной работе программного обеспечения.
- Уточненная модель потребовала введение размерности (показателя степени) распределения числа площадей среза и нормировочного коэффициента с, аппроксими-рующего зависимость .
- Приведено сравнение результатов, полученных с помощью предлагаемой и известной фрактальной модели.
1. Majumdar A., Bhushan B. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces // Trans. ASME: J. Tribology. 1990. No.112. P. 205−216.
2. Zhang X., Wang N., Lan G., Wen S., Chen Y. Tangential Damping and its Dissipation Factor Models of Joint Interfaces Based on Fractal Theory with Simulations // Journal of Tribology. 2014. Vol. 136 (011704-1-10)
3. Qiang Z., Xiaoqian C., Yiyong H., Yong C. Fractal modeling of fluidic leakage through metal sealing surfaces // AIP Advances 8. 2018. https://doi.org/10.1063/1.5023708
4. Tian H., Zhao C., Zhu D., Qin H. Practical Expressions of Elastoplastic Contact between Rough Surfaces // International Journal of Modeling and Optimization. 2012. Vol. 2. No. 3. P. 179−186.
5. Tikhomirov V.P., Izmerov M.A. Fractal model of contact interaction of nominally flat surfaces // AIP Conference Proceedings. Proceedings international conference "Problems of applied mechanics". 2021. С. 060004.
6. Горохов Д.Б. Контактное взаимодействие фрактальных шероховатых поверхностей деталей машин / Д.Б. Горохов / М.: РГБ, 2005. 148 с.
7. Тихомиров В.П. Нормальная контактная жёсткость фрактальных поверхностей стыкового соединения // В.П. Тихомиров, О.А. Горленко, М.А. Измеров // Качество и жизнь. 2018. № 4 (20). С. 429–433.
8. Маджумдар А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей / А. Маджумдар, Б. Бхушан // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 6. С. 11−23.
9. Тихомиров В.П. Фрактальные модели инженерных поверхностей / В.П. Тихомиров, М.А. Измеров, П.В. Тихомиров / Вестник Брянского государственного технического университета. 2014. № 3. С. 72−80.
10. Тихомиров В.П., Шалыгин М.Г., Измеров М.А., Крутов А.В. Фрактальная размерность дискретного контакта // Наукоёмкие технологии в машиностроении. 2024. No 1 (151). С. 41‒48. doi:https://doi.org/10.30987/2223-4608-2024-41-48
