Введение

Применение прикладных математических методов решения практических задач всегда ставило математику во главе всех методов научного познания. В свою очередь развитие математики обусловлено практической потребностью в строгой формализации естественно-научных законов и получении количественных результатов. В настоящее время основными драйверами развития математики являются прикладные задачи теории управления большими данными, машинного обучения, искусственного интеллекта, построения систем поддержки принятия управленческих решений (СППР). Современные СППР стали обязательным инструментом в управлении бизнесом крупных корпораций и даже государств. Анализируя тенденции развития цифрового менеджмента, следует обратить внимание на роль цифровизации психологических факторов мотивации и вовлечённости персонала. Цифровая трансформация сферы образования также требует развития и внедрения гибких технологий управления трудовыми ресурсами [1]. В свете внедрения гибких технологий управления учебным процессом и оптимизации численности учебных групп возникла задача нахождения оптимального соотношения состава и продуктивности студенческих бригад при коллективном выполнении лабораторных работ [2].

Проблема формирования и оптимизации численности трудовых коллективов относится к сфере задач управления организационными системами. Главной особенностью управления такими системами является обязательное наличие в них активного звена – человека. Возросшее внимание к изучению человеческого фактора в работе организационных систем продиктовано не только сложностью его прогнозирования. Именно человеческий фактор является единственным генератором знаний, а также фактором творческого инновационного решения возникающих задач. Если деятельность организации в целом определяется надёжностью механизмов функционирования, то деятельность отдельных команд этой организации зависит от профессиональных, социально-личностных и репутационных качеств составляющих её членов [3]. Репутационные качества обуславливают степень слаженности работы группы и уровень взаимного доверия её членов, отражающиеся в социометрическом графе коммуникативного поведения [4]. А множество социально-профессиональных компетенций членов группы определяют степень её неоднородности [5].

Межличностное взаимодействие в неоднородных группах.

Известно, что первыми внимание к самоорганизации производственных групп и порождаемому ими синергетическому эффекту генерации новых знаний привлекли в 1986 году I. Nonaka и H. Takeuchi [6]. Они обратили внимание на цикличность процессов зарождения личных знаний отдельных работников, последующей социализации, экстернализации и формализации производственной информации в форму корпоративной действующей технологии. Их подход лёг в основу современного менеджмента знаний в решении задач высокой степени неопределённости в рамках гибких технологий управления, таких как Scrum, Канбан.

Обязательным условием инициативы и самоорганизации членов группы в интересах предприятия является наличие социального капитала – «отношений взаимовыгодного знакомства, признания и членства в этой группе» [7]. Вторым немаловажным условием совместной инновационной деятельности рабочей группы является благоприятный эмоциональный климат в коллективе, мотивирующий сотрудников к изобретательству и рационализации, к обмену знаниями, к трансформации знаний в корпоративную информацию, к патентованию   изобретений [8]. Оба эти фактора на уровне управления культивируются поощрением дружеских доверительных связей и личной коммуникации между членами команды в рабочее и нерабочее время. Надёжность доверительных связей внутри коллектива C. McComb сравнивает с ковалентными связями в химических соединениях, объясняя синергетический эффект возникновения у группы тех свойств, которые не были характерны отдельным её членам [9]. Контекстно-свободное общение сотрудников во время работы может быть как продуктивным – посвящённым обмену опытом и совместному решению производственных задач, так и непродуктивным общением на личные темы. Однако и непродуктивное общение служит укреплению социального и эмоционального ресурса коллектива, формированию в нём эффективных статусно-ролевые структур, как фактора инновационной деятельности.

Нормирование времени.

Задачей данной работы является разработка методики оценки и нормирования допустимых издержек времени на межличностные взаимодействия членов производственной или учебной группы. В основе выбранного подхода лежат базовые принципы управления программной инженерией и производством программной продукции, сформулированные B. Boehm, E.W. Dijkstra, W.W. Royce и F.P. Brooks [10-12]. В частности закон Брукса позволяет сопоставить объём издержек времени на межличностные взаимодействия напрямую с численностью команды N. Если принять допустимую долю времени рабочего времени, потраченного на общение как k, то затраты времени отдельного работника в нормируемом периоде рабочего времени составят:

       tизд=t∙k∙N-1

где t – нормированное время труда одного работника однородной группы, полученное делением номинальной трудоёмкости на численность группы t = P_ном/N.

Действительная трудоёмкость проекта окажется больше номинальной на величину P_изд = t_изд·N/2 и составит:

Pд=Pном+t∙k∙NN-1/2=Pном(1+k∙N-1/2)       (1)

Из этого выражения:

       Pном=Pд1+k∙N-1/2 (1 а)

Практическую сложность представляет точное количественное измерение как номинальной трудоёмкости P_ном, так и коэффициента k. Отработке и апробированию методики измерения этих параметров посвящён следующий эксперимент.

Описание эксперимента. В качестве эксперимента оценивалась трудоёмкость коллективного выполнения учебных лабораторных работ по дисциплине «Техника фотографии» учебного плана специальности 6-05-0211-05 «Графический дизайн и мультимедиа дизайн» однородными студенческими бригадами. В рамках эксперимента группам численностью N_i от 4 до 10 человек предлагалось выполнить одинаковое по сложности и трудоёмкости задание. В каждом случае точно фиксировался промежуток времени T_i от постановки задачи и выдачи методического описания лабораторной работы до предоставления требуемого фотоотчёта.

Исходные данные шести экспериментов представлены в табл. 1.

Этих экспериментальных данных достаточно для вычисления действительной трудоёмкости выполнения работы для каждого из экспериментов P_дi, и численного параметра (N_i –1)/2, стоящего при коэффициенте нормирования времени на межличностную коммуникацию в формуле (1). Неизвестными в этом выражении оставались только два члена: P_ном и k, находящиеся в обратной зависимости. Преобразовать зависимость к линейной можно, рассматривая вместо номинальной трудоёмкости P_ном обратную ей величину:

       Pном-1= 1Pдi+k∙Ni-12Pдi           

Нахождение численных значений Pном-1  и k по данным двух экспериментов на основании решения системы из двух линейных уравнений оказалось неприемлемым из-за значительного влияния погрешностей эксперимента. Точное нахождение этих параметров требует учёта всех экспериментальных данных. Однако из-за тех же погрешностей эксперимента пучок прямых описываемых системой шести линейных уравнений

       Aj‧Pном-1 + Bj‧k + Cj = 0   

не имеет общей точки (рис. 1).

Предложенный аналитический подход к решению задачи заключался в нахождении той стационарной точки M (Pном-1 , k), расстояния от которой до каждой из прямых этого пучка будут минимальными.

Таблица 1.

Исходные экспериментальные данные о численности студенческих групп и продолжительности выполнения лабораторной работы

Table 1.

Initial experimental data on the number of student groups and the duration of laboratory work

Расстояния от произвольной точки до каждой из прямых можно записать как:

       dj=AjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2    

Для поиска координат точки, удовлетворяющей условию минимального расстояния до каждой из прямых, исследуем на экстремум функцию двух переменных:

       d=j=1ndj=j=1nAjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2   

Для этого найдём стационарные точки и проверим выполнение в найденных точках достаточного условия экстремума функции.

Продифференцируем сумму по каждой переменной:

j=1ndjPном-1'=j=1nAjPном-1+Bjk+Cj2Aj2+Bj2Pном-1'=j=1nAj∙AjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2

j=1ndjk'=j=1nAjPном-1+Bjk+Cj2Aj2+Bj2k'=j=1nBj∙AjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2

Координаты искомой точки M (Pном-1 , k) будут решением системы уравнений:

       j=1nAj∙AjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2=0j=1nBj∙AjPном-1+Bjk+CjAj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2=0

Для конкретных численных значений из табл. 1 решением этой системы являются значения: k = 0.278611; Pном-1  = 0.362513, что соответствует P_ном = 2.75252 (Рис. 2, а).

Проверка выполнения достаточного условия экстремума функции в найденной точке M (0.278611, 0.362513) требует нахождения частных производных:

A=j=1ndjx''M=j=1n-Aj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2AjPном-1+Bjk+Cj6+Aj2AjPном-1+Bjk+Cj2Aj2+Bj2M     

B=j=1ndjy''M=j=1n-Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2AjPном-1+Bjk+Cj6+Bj2AjPном-1+Bjk+Cj2Aj2+Bj2M     

C=j=1ndjxy''M=j=1n-Aj∙Bj∙AjPном-1+Bjk+Cj2Aj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj6+Aj∙BjAj2+Bj2∙AjPном-1+Bjk+Cj2M    

В итоге вычислений:

A = 5.91781‧10^-14,

B = – 4.90199‧10^-14,

C = – 1.20792‧10^-13;

A‧C – B2 = 4.7453‧10^-27 > 0 и A > 0.

Найденная точка M (0.278611, 0.362513) является решением:

- номинальная трудоёмкость лабораторной работы составляет Р_ном = 2.75252 чел‧час (самостоятельное выполнение лабораторной работы одним студентом потребует более четырёх академических часов);

- коэффициент издержек времени на межличностные взаимодействия членов группы k = 0.278611 час/чел‧час (28% учебного времени требуется студенту для обсуждения учебных и личных тем с каждым из участников группы), как и показано на рис. 2, а.

Одной из проблем аналитического метода вычислений является его громоздкость, возрастающая на порядки с увеличением числа экспериментов. Более значительной проблемой является статистическая оценка точности результатов. Альтернативный вариант решения основан на теории математической статистики [13].

Пусть Pном-1  и k связаны линейной зависимостью, и должны одновременно удовлетворять всем заданным условиям. Рассмотрим линейную функцию y=kx+Pном-1 , график которой должен проходить через точки с эмпирически полученными неточными координатами (рис. 2, б).

Воспользуемся такой аппроксимирующей функцией f(x)=ax+b , что отклонения (разности значений функции при заданных аргументах и ординат точек) будут минимальными. Отклонения обозначим как ei=yi-f(xi) . Для поиска функции f (x) воспользуемся методом наименьших квадратов. Для этой функции сумма

       i=1nei2=i=1nyi-f(xi)2=i=1nyi-axi+b2     

должна быть наименьшей.

Выборочная парная линейная регрессия имеет вид: yx=ax+b ,

где  yx  – условное среднее арифметическое наблюдаемых значений y_i, соответствующих значениям x_i;

       a и b – точечные оценки, которые необходимо найти.

Для построения парной линейной регрессии необходимо выполнение предпосылок метода наименьших квадратов (условий Гаусса-Маркова [14]):

1) математическое ожидание случайного отклонения e_i равно нулю Mei=0 , то есть случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную;

2) дисперсия случайных отклонений постоянна (условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдения) Dε=Dεj=σ2=Mei2=const ;

3) случайные отклонения ε_j и ε_i некоррелированы Covεi, εj=0∀i,j ;

4) ошибки не носят систематического характера EεiXi=0∀i ;

5) модель является линейной относительно параметров.

а)

б)

Рис. 2. Решение задачи поиска точки с минимальным расстоянием до прямых пучка аналитическим методом (а) и на основании статистического подхода (б)

Fig. 2. Solving the problem of finding a point with the minimum distance to the straight lines of the beam by the analytical method (a) and based on the statistical approach (b)

При условии выполнения предпосылок, можно строить линейную регрессию, в которой:

- выборочный корреляционный момент для данных из табл. 1 составляет:

μxy=xy-x∙y=0.110981-0.55263∙0.208544=0.00426665 ;

- выборочный коэффициент корреляции:

rвxy=μxyσвx∙σвy=μxyx2-x2∙y2-y2=