Введение
Для создания методики проектирования и расчета винтовых сит и оборудования для реализации технологических процессов разделения сыпучих материалов на фракции [1-6], необходимо получить зависимости для определения скорости перемещения сыпучих материалов в винтовых ситах. Ввиду сложности явлений, сопровождающих процесс пространственного движения частиц сыпучих материалов в винтовых ситах, вначале рассмотрим движение частиц сыпучих материалов без учета процесса сепарации, а лишь затем скорректируем эти зависимости с учётом этих процессов.
Так как все винтовые сита по периметру имеют явно выраженные многоходовые винтовые ломаные, плавные или зигзагообразные линии, исследование проведем на типовом винтовом сите тетраэдальной формы (рис. 1) [7].
Рис. 1. Винтовое сито тетраэдальной
формы, вид спереди
Определение скорости перемещения сыпучих материалов в винтовых ситах
В пространстве задаем единичные векторы
, 
, 
(рис. 2). Направление вращения вектора углов скорости винтового сита 
. Установлено из эксперимента, что перемещение частиц сыпучих материалов вдоль оси винтового сита происходит в направлении 
. Поэтому при построении на векторах , , осей XУZ составляющие проекций скорости 
, продольного перемещения 
. Направление 
определено из опытов, 
– угол поворота винтового сита.
Тогда можно записать:
(1)
где
, (2)
В этом случае 
проецируется на направление j:
(3)
Рис. 2. Геометрия действия сил
на частицу и векторы, 
, 
В соответствии со 2-м законом Ньютона:
(4)
где в 
сила от веса частицы.
Так как 
, 
, и 
(рис. 2):
(5)
можно записать:
где 
Соотношение следует (рис. 2) из условия:
, (7)
т.е. 
или 
(8)
Поэтому можно записать (рис. 3):
(9)
Рис. 3. Направление векторов скоростей
и ускорений в винтовом сите
При этом учитываем, что:
– скатывание частиц сыпучих материалов по винтовым линиям вызывается силой тяжести;
– под направлением j следует понимать направление движений частиц сыпучих материалов вдоль векторов 
.
Выбор математических моделей
Модель сплошной среды. В этом случае в каждой точке винтового сита нас интересует векторное поле скоростей 
(Х, У, Z, t).
Используя формулы Гаусса-Остроградского получим зависимости [8]:
(10)
Это система уравнений движения сплошной среды, однако необходимо дополнить зависимостям соединяющими величины U, x, Pij с термодинамическими параметрами ρ и Т.
(11)
Поэтому нормальная составляющая вектора потока тепла:
. (12)
div 
−дивергенция вектора скорости.
Как видно, интегрирование правых частей уравнений будет явно затруднено. Поэтому, вводя полярную систему координат, рассмотрим модель материальной точки.
Модель материальной точки. Если проектировать контактные силы и силу тяжести в направлениях ρ, φ. запишем систему уравнений для определения VX, VУ в полярной системе координат (рисунок 4):
, (13)
Рис. 4. Характер действия векторов
на частицу сыпучих материалов
Запишем известные дифференцированные уравнения движения материальной точки М в виде [9]:
(14)
где
(15)
Тогда:
и 
;
;
;
;
.
Коэффициенты трения μ, можно выразить зависимостью:
, (16)
где α – параметр малости;
f – нелинейная функция.
Контактные силы можно представить:
,
(17)
где n – степень, а Кз – коэффициент захвата, можно считать постоянной величиной:
, (18)
, (19)
где
, (20)
где Рn, Рτ – составляющие вектора 
.
М0 – начало захвата частицы сыпучих материалов стенками винтового сита, где 
Поэтому:
, (21)
и можно записать
(22)
Рис. 5. Схема сил, действующих
на частицу сыпучих материалов
А так как 
, где 
(
зависимость 
преобразуется к виду:
(23)
Так как величина R имеет вид:
, (24)
вместо (22) запишем:
(25)
(26)
При
c помощью (19), (20) находим Vj, а затем VZ с помощью зависимости (8) запишем:
N = P · sin φ – Fn, (27)
где 
– величина центростремительного ускорения
(28)
Nj ≃ N· cos j ≈ N, (29)
согласно (16), (19), (27), (29) получим:
;
; (30)
Представим нижнее уравнение:
(31)
При 
,
(захвате) 
получаем квадратуры типа t = t (φ).
Рис. 6. Схема действия сил на частицу
сыпучих материалов в винтовом сите
Рис. 7. Схема действия сил на частицу
сыпучих материалов в поперечном
сечении винтового сита
В системе (30) положим:
FТР ≈ FТРj ≈ 0, т. е. μ = 0. (32)
Имеем:
(33)
Интегрируем нижние уравнения этой системы.
С учётом 
и 
интегрируя, имеем:
;
;
;
;
или 
. (34)
Тогда:
; (35)
, (36)
так как 
,
(37)
Интегрируя (37) с учетом (18), запишем:
или
Vj = r · sin j ·
,
, т.е.
(38)
С учетом (37) и начальных условий преобразуем левую часть (38):
(39)
После преобразований и упрощений, зависимость для определения скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов в винтовом сите может быть представлена в виде:
, (40)
где 𝑟- средний радиус винтового сита, 𝑗 – угол наклона винтовой линии винтового сита, 
Из условий (36) имеем соотношение между дифференциалами:
(41)
Так как 
, с учётом (39), (41) и начальных условий:
, 
После интегрирования длина рабочей камеры винтового сита 
. может быть определена с помощью зависимости:
=
(42)
Таким образом, с помощью зависимостей (40) и (42) можно определить скорость перемещения частиц сыпучих материалов в винтовом сите
, а также длину рабочей камеры .
Для экспериментальных исследований спроектирована и изготовлена экспериментальная установка для разделения на фракции частиц сыпучих материалов (рисунок 8). Она состоит из: 1 - станина, 2 - привод, 3 - винтовое сито, 4 и 5 - обода, 6 - роликовые опоры, 7 - параллельные валы, 8 - загрузочная воронка, 9 - входная загрузочная втулка, 10 и 11 - сменные сита треугольной формы с различными типоразмерами сепарирующих отверстий, 12 - торцевое выгрузочное отверстие винтового сита, 13, 14, 15 - емкости для приема готовой продукции,16 - склизы для приема и транспортировки готовой продукции в емкости 13, 14.
Рис. 8. Экспериментальная установка для разделения на фракции частиц сыпучих материалов
На рис. 9 представлена экспериментальная установка для разделения на фракции частиц сыпучих материалов, выполненная в металле.
Рис. 9. Экспериментальная установка для разделения
на фракции сыпучих материалов
Определение скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов с учетом констант экспериментального характера
В процессе исследования выявлено, что существуют признаки, которые характерны для каждого класса винтовых сит [7].
Опыты показали, что зависимость для определения продольной скорости перемещения частиц сыпучих материалов в винтовых ситах Vz может быть представлена в виде полинома:
, (43)
где 
kV – коэффициент заполнения рабочего объема частицами сыпучих материалов винтового сита 
– соотношение объемов частиц строительных сыпучих материалов и объема рабочей камеры винтового сита); w – скорость вращения винтового сита; 
– объем внутренней полости винтового сита; 
– объем частиц сыпучих материалов в винтовом сите; 
– масса частицы сыпучих материалов; 
– масса частицы сыпучих материалов; 
– коэффициенты, которые характеризуют только класс винтового сита[7].
В тоже время результаты исследований показали, что уравнения движения, точнее скорости продольного перемещения, хорошо могут быть представлены полиномом 2-й степени:
, (44)
где
;
A1; F2; F3 – коэффициенты характеризующие класс винтового сита [7].
Результаты экспериментальных исследований сведены в номограмму (рис. 10)
Рис. 10. Результаты экспериментальных исследований
( • - 
; 
; ° - 
; — • —
эксперимент; — по формуле (45)
- - - - по формуле (44))
Обработка результатов исследований позволила получить уравнение для определения продольной скорости перемещения сыпучих материалов в винтовых ситах, удобное для инженерных расчетов при проектировании установок для сепарации в виде:
, (45)
где G – постоянная, которая выражена через характеристики винтовых сит следующим образом:
для сит I и V классов 
;
II класса 
;
III класса 
; (46)
IV класса
;
0,145; 0,115; 0,135 – переводные коэффициенты в M -I ;
– стороны элементов, из которых смонтировано винтовое сито;
– угол наклона винтовой линии (свернутой из полос);
– коэффициент для винтовых сит, имеющий вид:
для винтовых сит
I и V классов 
;
II класса
;
Ш класса
; (47)
IV класса 
;
– в радианах при условии, что 
– безразмерный коэффициент удельной производительности винтовых сит.
Результаты теоретических и экспериментальных исследований показывают достаточно высокий уровень совпадения (рис. 10).
Заключение
Проведено аналитическое исследование процесса разделения сыпучих материалов на фракции, с целью выбора условной модели его описания. Проведен выбор математических моделей. Рассмотрена модель сплошной среды и модель материальной частицы. Разработана математическая модель определения скорости продольного перемещения масс сыпучих материалов от загрузки к выгрузке. Представлены зависимости для определения скорости продольного перемещения сыпучих материалов в винтовом сите и длины его рабочей камеры. В работе применялся комплексный метод исследований. Аналитические методы позволили предложить зависимости для определения скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов Экспериментальные исследования проведены с целью подтверждения аналитических зависимостей.
