MATHEMATICAL MODELING OF FLAPPING WING MOVEMENTS WHEN INTERACTING WITH A RESISTING MEDIUM
Abstract (English):
The work objective. The paper deals with the issues of modeling biologically inspired movement of an unmanned flying platform (UFP) equipped with flapping wings. Special attention is paid to modeling the interaction of a flapping wing with a resisting air medium. Therefore, the study aim is mathematical modeling of the force which occurs when the wings interact with the resisting medium. The problem to which the paper is devoted. To solve the problem is to make the mathematical model of the rotational motion of drone wing taking into account kinematic and dynamic features of two-coordinate rotation for various angle changing relative to the longitudinal and transverse axes. Research methods. Methods of classical mechanics, theory of motion stability, optimal control, observations, parametric optimization were used to solve the problem. The novelty of the work lies in the algorithms for changing the angles of wings rotation relative to the longitudinal and transverse axes, presented as smooth functions. A method for defining the reduced force arising during the wing movement is proposed. The dependences of the reduced force of wing-air interaction are obtained which provide the development of lifting and traction forces. These forces allow the drone to move in space along a given trajectory. The study results. The modes of flapping wing motion are simulated and the dependences of instantaneous force values which the wing creates during movement are obtained. These forces allow the drone to move in space along a given trajectory. It is shown that the drone movement is controlled by changing the frequency and amplitude of the wing vibrations, as well as by changing the angle of theneutral line inclination relative to which the wing rotates. Conclusions: a model of the reduced force arising from the flapping wing movement is proposed. Dependence graphs of the effective wing area (frontal area) for various parameters of changing rotation angles from time are constructed. Flapping wing motions of the aircraft is simulated. The range of parameters is defined at which the wing movement projections create horizontal F1x and lifting F1z forces at different values of area projections S1x, S1y, S1z.

Keywords:
flapping wing, lifting force, wing rotation angle, effective wing area

Введение

Развитие научных технологий, появление новых современных легких и прочных материалов и электронных компонентов приводит к возрождению интереса к моделированию движения летательных аппаратов с машущим крылом (ЛАМК), которые имитируют полет птиц или насекомых [11-13]. Такие механические устройства обладают возможностью вертикального взлета, планирования, зависания над объектами, а также они достаточно маневренны, как их биологические объекты [11-13, 17]. Интерес к идее копирования машущего полета природных аналогов - очень велик, однако его реализация связана с особенностями аэродинамической теории и отсутствием опыта разработки механизмов-приводов и их применения [1-12].

В природе крыло биологического объекта, например, птицы, реализует три вида вращения: вокруг оси, проходящей вдоль корпуса (взмахи вверх-вниз), поперечной оси корпуса (приводит к наклону крыла с целью изменения его угла атаки) и вокруг вертикальной оси, т.е. взмахи крыльев вперед и назад [11-14,17]. Помимо этих вращений, крыло птиц может изменять свою площадь во время взмаха для управления силой сопротивления в воздушной среде и развития подъёмной силы [1-6]. В отличие от птиц, у большинства насекомых площадь крыла не изменяется во время взмаха, поэтому, в данной статье остановимся на изучении движения недеформируемого крыла насекомого [13,14,16].

Материалы, модели, эксперименты и методы

1. Моделирование движения машущего крыла

При моделировании машущего крыла летательного аппарата будем рассматривать его движение в абсолютной системе координат OXYZ (рис. 1). Свяжем с корпусом робота относительную, подвижную систему координат C2X2Y2Z2, начало которой совпадает с центром тяжести корпуса С2. Ось C2X2 - направлена параллельно продольной оси корпуса, ось C2Y2 - направлена перпендикулярно плоскости C2X2Z2, а ось C2Z2 - перпендикулярно плоскости C2X2Y2. Плоскость C2X2Z2 является плоскостью симметрии аппарата [1-6, 13,17].

Для описания движения крыльев 1,3 свяжем плоскостью крыла c системой координат С2XiYiZi (i=1,3), где С2 -  центр масс фюзеляжа (корпуса). Оси С2Xi совпадают с осями поперечного вращения, а ось СiYi  принадлежит плоскостям крыльев, совпадают с её кромкой и с продольной осью вращения крыла. Таким образом, системы координат С2XiYiZi (i=1,3) могут вращаться относительно корпуса вместе с крыльями, совершая двухкоординатное вращение,  определяемое углами ai , относительно осей CiYi и ji, относительно осей СiXi .

Будем рассматривать крылья как два твердых тела, которые сочетают движения по углам φi и αi, вносящие значительный вклад при формировании подъемной и тяговой сил.

Пусть  ,  или                               .                     (1)

При моделировании необходимо учесть важные кинематические параметра крыла, такие как амплитуда взмаха, частота и углы поворота ai и ji, в зависимости от положения крыла [13-17].

Рис.1. Схема систем координат, связанных с крыльями: 1,3 – крылья, 2 – фюзеляж (корпус)

Fig. 1. Diagram of the coordinate systems associated with wings: 1,3 - wings, 2 - fuselage (hull)

2. Кинематическая модель машущего крыла

Для удобства, будем рассматривать только крыло 1, положение которого определено поворотом на угол a1 и последующим поворотом на угол j12 (рис. 2) [13, 14]. Вращение крыла относительно оси С2Y1 происходит с угловой скоростью , а относительно оси C2X1 -с   угловой скоростью .

Рис. 2. Схема поворота системы координат крыла 1:  - скорость центра

масс С1   крыла; а, б – геометрические параметры

Fig. 2. The rotation scheme of the wing coordinate system 1:  is  speed

of the center of masses C1 of a wing; a, b - geometric parameters

Расстояние между точками С2 и С1 вдоль оси C2X2 равно а, вдоль оси C2Z2 - равно нулю, а вдоль оси C2Y2b; а и b – переменные величины, зависящие от положения точки С1. Для приближенных расчетов примем их постоянными величинами.

Положение центра масс С1, во второй (2) системе координат определяется радиус-вектором:

.                       (2)

Матрицы, определяющие векторы, заданные в первой (1) системе координат, с учетом двух вращений, имеют вид:

.                       (3)

На данном этапе рассмотрим законы изменения углов поворота  и  при движении крыльев в виде гладких функций:

;                ,                      (4)

;         ;           ,                            (5)

где  - отклонение от нейтральной линии крыла (ось Х2)  и амплитуда  колебаний крыла, относительно продольной оси (рис. 3); g - угол сдвига фазы; - отклонение от нейтральной линии крыла (ось Y2) и амплитуда колебаний крыльев, относительно поперечной оси (рис. 4); w- угловая скорость.

а)                                                             б)                                         в)                                                           г)

Рис. 3. Схема расположения крыла относительно продольной оси при следующих параметрах:

а- б -  в - г -

Fig. 3. The layout of the wing relative to the longitudinal axis with the following parameters: а- б -  в - г -

а)                                                                            б)

Рис. 4. Схема возможного расположения начального положения

крыла 1 относительно поперечной оси:

а - при ;  б - при

Fig. 4. Diagram of the possible location of the initial position

of the wing 1 relative to the transverse axis:

а - при ;  б - при

На рис. 5, 6 представлены графики, иллюстрирующие изменение углов  и  во времени для различных схем расположения крыла.

Рис. 5. Зависимости углов поворота  крыльев от времени:

1,2,3,4 соответствуют схемам а,б,в,г  расположения

крыла рис. 3 соответственно

Fig. 5. The dependences of the angles of rotation of the wings on time:

1,2,3,4 correspond to the schemes а,б,в,г of the wing arrangement

of figure 3, respectively

а)                                                           б)

Рис. 6. Зависимости углов поворота  крыльев от времени:

а - для схемы на  рис. 4,а;  б - для схемы на рис. 4,б

Fig. 6. The dependence of the angles of rotation of the wings on time:

a - for the scheme in figure 4,a; b- for the scheme in figure 4,b

Анализ графиков на рис. 5, 6 показывает, что существует сдвиг по фазе углов поворота крыльев в зависимости от их начального (нулевого) и последующего отклонения, относительно продольной и поперечной осей. Выявленные факторы можно использовать, для моделирования управления движением машущего крыла.

При движении крыла относительно корпуса вверх, его плоскость может поворачиваться на угол  и становиться практически вертикальной (рис.3, в). В этот момент площадь миделевого сечения S близка к нулю. При движении крыла вниз плоскость крыла поворачивается и может становиться горизонтальной (рис. 3, а,б,г), при этом площадь миделева сечения достигает своего максимального значения. Соответственно, это приводит к увеличению силы сопротивления. Скорость изменения силы сопротивления зависит от того какой закон изменения площади миделева сечения принят для управления движением.

Площади проекций крыла 1 на плоскости, перпендикулярные осям C2X2, C2Y2, C2Z2, представим как (рис. 7):

;                            (6)

где S0 - площадь сечения крыла.

а)                                                                           б)

Рис. 7. Расчетные зависимости проекций  площади крыла S, S, S1z  при периодическом движении крыла вверх-вниз от времени при частоте w=25,12 рад/с; S0=0,36´0,4=0,48 м2 и следующих параметрах:

а - ; ;   б - ;

Fig. 7. Calculated dependences of the wing area projections  S1х, S1х, S1z  with periodic up-and-down wing movement on time at a frequency of w=25.12 rad/s; S0=0.36×0.4=0.48 m2 and the following parameters:

а - ; ;   б - ;

3. Определение силы взаимодействия крыла с воздухом

Рассмотрим схемы внешней распределенной силы взаимодействия с сопротивляющейся средойF, приложенной  в точке С1, при движении крыльев вверх (рис. 8, а) и вниз (рис. 8, б).

а)                                                                                          б)

Рис. 8. Схема крыла робота при относительном движении: а – вниз; б – вверх;

1 - нейтральная линия крыла относительно корпуса; 2 – крыло; 3 – корпус

Fig. 8. The diagram of the robot wing with relative motion: a - down; b - up;

1 - the neutral line of the wing relative to the body; 2 - the wing; 3 - the body

Здесь приняты следующие обозначения  - проекции скорости центра масс Сна оси связанной с корпусом системы координат, `F1 приведенная сила взаимодействия крыла с воздухом.

В общем случае: , или .

Силу   представим в виде вектора:

,                                                          (7)

где F1x, F1y, F1z – проекции силы крыла 1 на оси подвижной второй (2) системы координат:

;

;                                              (8)

,

где - безразмерный коэффициент лобового сопротивления,  - плотность воздуха.

Анализ формул (8) показывает, что продольная , поперечная   и подъемная  силы крыла изменяются в зависимости от скорости движения крыла и модуля его площади [11-14].

Уравнения проекции скоростей центра масс крыла .на оси связанной, первой (1)  системы координат, полученные на основании кинематических уравнений, изложенных в [14,17],   будут иметь вид:

;                                                    (9)

Результаты

На основании уравнений (8) с учетом (6) и (9) проведем моделирование проекций силы в зависимости от времени при следующих параметрах a=0,2 м; b=0,6 м; w=25,12 рад/с, С=0,5; r=1,29 кг/м3.

Определим средние за период значения продольной , поперечной  и подъемной   сил крыла для графиков рис. 9 (таблица):

;       ;       .                  (10)

Таблица

Средние значения проекции силы

 Рис. 9 а 0,216 0 0 б 0,317 1,133 0,407 в 0,039 1,694 -0,918

Анализ графиков на рис. 9, а так же средние за период значения силы  крыла показывают, что характер изменения проекций силы существенно зависит от параметров, задающих движение крыла ; Изменяя эти постоянные, можно получить силы, обеспечивающие подъем летательного аппарата (рис. 9, б), движение по горизонтальной прямой (рис. 9, а) и спуск (рис. 9,в).

а)

б)

в)

Рис. 9. Зависимости проекций силы  взаимодействия крыла с воздухом от времени        при следующих параметрах: а - ; ; б - ; ;

в - ;

Fig. 9. The dependences of the projections of the force  of the interaction of the wing with the air on time with the following parameters: а - ; ; б - ; ;

в - ;

Заключение

В результате исследований предложена модель приведенной силы, возникающей при движении машущего крыла. Построены графики зависимостей эффективной площади крыла (площади миделева сечения) для различных параметров законов изменения углов поворота от времени. Проведено моделирование машущего движения крыльев летательного аппарата. Определена область параметров, при которых проекции перемещения крыла создают горизонтальную F1x, и подъёмную F1zx силы при различных значениях проекций площадей S, S1y, S1z.

1. Jatsun S., Efimov S., Emelyanova O., Leon A.S.M., Davalos P.J.C. Modeling and control architecture of an autonomous mobile aerial platform for environmental monitoring. In 2019 International Conference on Information Systems and Computer Science (INCISCOS). IEEE, 2019. R. 177-182. DOI:https://doi.org/10.1109/INCISCOS49368.2019.00036.

2. Jatsun S.F., Korenevskiy N.A., Efimov S.V., Korovin E.N. An Automated System for Monitoring the Environment and Assessing People's Status in Extreme Situations Using a Flying Robot. Biomedical Engineering. 2018;52(4). DOI:https://doi.org/10.1007/s10527-018-9832-x.

3. Karimian S., Jahanbin Z. Bond graph modeling of a typical flapping wing micro-air-vehicle with the elastic articulated wings. Meccanica. 2020;55(6): 1263-1294. DOI:https://doi.org/10.1007/s11012-020-01162-w

4. Nguyen K., Au L.T.K., Phan H.V., Park S.H., Park H.C. Effects of wing kinematics, corrugation, and clap-and-fling on aerodynamic efficiency of a hovering insect-inspired flapping-wing micro air vehicle. Aerospace Science and Technology. 2021;118: 106990. DOI:https://doi.org/10.1016/j.ast.2021.106990.

5. Smart bird. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/SmartBird.

6. SmartBird. URL: https://www.festo.com/group/ru/cms/10238.htm.

7. Vorochaeva L.Y., Efimov S.V., Loktionova O.G., Yatsun S.F. Motion Study of the Ornithopter with Periodic Wing Oscillations. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2018;57(4):672-687. DOI:https://doi.org/10.1134/S1064230718040147.

8. Word Science. URL: http://wordscience.org/uchenye-garvarda-sozdali-letayushhego-robota-robo-fly.html.

9. Yoon S.H., Cho H., Lee J., Kim C., Shin S.J. Effects of camber angle on aerodynamic performance of flapping-wing micro air vehicle. Journal of Fluids and Structures. 2020;97:103101. DOI:https://doi.org/10.1016/j.jfluidstructs.2020.103101.

10. Emel'yanova O.V., Polyakov R.Yu., Efimov S.V., Yacun S.F. Mobil'nyy letatel'nyy kompleks dlya rannego obnaruzheniya ochagov vozgoraniya. Fundamental'nye i prikladnye problemy tehniki i tehnologii, 2018;3(329):136-141. ISBN: 978-5-9929-0514-4.

11. Efimov S.V. Korshunov E.V., Polyakov R.Yu., Tarasov O.S., Yacun S.F. Eksperimental'nye issledovaniya parametrov mashuschego kryla dlya prygayusche-letayuschego robota. Fundamental'nye issledovaniya. 2015;2(11):252-256. ISSN 1812-7339.

12. Polyakov R.Yu., Yacun S.F. Modelirovanie poleta insektoptera dlya issledovaniya parametrov mashuschego kryla. Sistemy upravleniya, slozhnye sistemy: modelirovanie, ustoychivost', stabilizaciya, intellektual'nye tehnologii. 2020. S. 431-436. ISBN: 978-5-00151-153-3.

13. Polyakov R.Yu., Yacun S.F. Matematicheskoe modelirovanie poleta strekozopodobnogo minirobota. Sistemy upravleniya, slozhnye sistemy: modelirovanie, ustoychivost', stabilizaciya, intellektual'nye tehnologii. 2020. S. 467-473. ISBN: 978-5-00151-153-3.

14. Polyakov R.Yu. Mobil'naya pribornaya platforma dlya sistemy ekologicheskogo monitoringa zagryazneniya toksichnymi gazami atmosfernogo vozduha: special'nost' 05.11.13 «Pribory i metody kontrolya prirodnoy sredy, veschestv, materialov i izdeliy»: dis. na soiskanie nauchnoy stepeni kand. teh. nauk / Polyakov Roman Yur'evich; Yugo-Zapadnyy gos. un-t. Kursk, 2019. 165 s. Bibliogr.: s.154-165. https://www.dissercat.com/

15. Polyakov R. Yu., Efimov S. V., Yacun S.F. Robot-insekopter dlya monitoringa okruzhayuschey sredy Sovremennye problemy grazhdanskoy zaschity. 2015. №. 3 (16). ISSN 2658-6223.

16. Polyakov R.Yu., Efimov S.V., Valuyskiy V.E., Mozgovoy N.V. Provedenie issledovaniya dvizheniya mnogozvennogo letayuschego robota dlya monitoringa okruzhayuschey sredy. Pozharnaya bezopasnost': problemy i perspektivy. 2014;1(1 (5)). ISSN 2411-3778.

17. Yacun S.F., Loktionova O.G., Vorochaeva L.Yu., Emel'yanova O.V. Konstrukciya i sistema upravleniya robota-ornitoptera, osnaschennogo kryl'yami i hvostom. Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta. 2018: 22(2):18-26. DOIhttps://doi.org/10.21869/2223-1560-2018-22-2-18-26.