MATHEMATICAL MODEL OF THE CAR SHOCK ABSORBER BASED ON VISCOUS FRICTION
Abstract (English):
The work objective is to develop a mathematical model of the force characteristics of shock absorbers based on viscous friction, including elastomeric ones. For this purpose, the following tasks are solved in the work: the existing approaches to the mathematical modelling of hydraulic shock absorbers are analysed, a mathematical model based on hydraulic equations (the Darcy–Weisbach equation) is proposed, the developed mathematical model is verified and the results are compared with the results obtained based on the existing approach. Research methods: the equation of fluid flow through holes with hydraulic friction; D'Alembert's principle for composing the equation of car swaying motions; the Euler method for numerical integration of the differential equation. The novelty of the work consists in the fact that a mathematical model of the power characteristics of shock absorbers with viscous friction is proposed, based on the quadratic dependence of the reaction on the deformation rate. The results are the study of car swaying motions based on the traditional and proposed approaches. The proposed mathematical models can be used to develop shock absorbers with improved characteristics when designing passenger cars.

Keywords:
shock absorber, passenger car, bogies, viscous friction, hydraulic friction, mathematical model, elastomeric shock absorber

Введение

Рассматривается силовая характеристика гасителей колебаний пассажирских вагонов с целью разработки адекватной математической модели.

В настоящее время гидравлические гасители колебаний на основе вязкого трения получили повсеместное распространение. Особенности сил вязкого трения позволяют осуществлять гашение колебаний наиболее эффективным путем. Принципиальное отличие сил вязкого трения от сухого состоит в прямой зависимости силы трения от скорости. Применение подобных гасителей колебаний на пассажирских вагонах обеспечивает высокие динамические качества тележек. Вместе с тем, важная задача связана с дальнейшим повышением эффективности гасителей, что возможно на основе экспериментальных и теоретических исследований.

Кроме рационального выбора параметров гидравлических гасителей, необходимо отметить появление принципиально нового подхода, который нашел применение в современных поглощающих аппаратах автосцепки. Это подход связан с применением эластомера в качестве рабочего тела аппарата.

Настоящее исследование направлено на создание математической модели силовой характеристики гасителей колебаний на основе вязкого трения, в том числе, эластомерных.

Материалы, модели и методы

В литературе известны многочисленные описания математической модели гидравлических гасителей, например [1-5]. Математическая модель силовой характеристики приводится и в нормативной документации, например [6-7].

Общепринятый подход предполагает линейную зависимость реакции гасителя от скорости деформации, например: «Сила сопротивления гидравлических гасителей колебаний пропорциональна скорости перемещения поршня» [5].

R=βv,                     (1)

где R – сила сопротивления (далее – реакция); ν – скорость перемещения поршня (скорость деформации гасителя); β - параметр сопротивления (коэффициент сопротивления, коэффициент вязкого трения).

В настоящем исследовании предлагается подойти к моделированию силовой характеристики на основе уравнений гидравлики.

Как известно, сила трения в гидравлическом гасителе колебаний обусловлена перетеканием жидкости через отверстия, что сопровождается гидравлическим сопротивлением (падением напора). В соответствии с формулой Вейсбаха [8-11], потеря напора при движении жидкости через местное сопротивление пропорциональна квадрату средней скорости движение жидкости:

hМ=ξv22g ,                            (2)

где    – потеря напора; ξ – коэффициент местного сопротивления (безразмерный), который зависит от формы препятствия на пути потока жидкости.

Для конструкции гидравлического гасителя колебаний потеря напора представляет собой разность давлений жидкости до и после препятствия (поршня). А разность давлений, в свою очередь, пропорциональна внешней силе, действующей на гаситель. Таким образом, предлагается математическая модель гидравлического гасителя колебаний (далее – «квадратичная модель») в следующем виде:

R=βv2signv,                   (3)

где sign – функция знака.

Следует отметить, что данная математическая модель также упоминается в литературе, например, в работах [1, 3-5], однако она не нашла широкого применения, хотя и имеет более адекватный физический смысл, так как основана на уравнениях гидравлики, описывающих движение жидкости в аппарате. Причину этого можно увидеть в том, что квадратичная зависимость реакции от скорости деформации значительно затрудняет интегрирование дифференциальных уравнений движения элементов вагона, а также анализ системы уравнений, так как решение обычно не удаётся получить явном виде.

Предложенная математическая модель (3) может быть также распространена и на эластомерные гасители колебаний, если дополнительно учесть особенности работы эластомера. В эластомерных гасителях эластомер, во-первых, создает силы вязкого трения при протекании его через отверстия между камерами прибора. Во-вторых, эластомер обладает объёмный упругостью, то есть дополнительно к силе вязкого трения развивает упругую силу. Наконец, в-третьих, в эластомерных демпферах присутствует и сила сухого трения, обычно постоянная по модулю. Исходя из сказанного, в случае эластомерного гасителя колебаний можно использовать следующую формулу [12]:

R=с(Δz+zнз)+βv2+Fтрsignv ,   (4)

где  – деформация рессорного подвешивания;  – начальная затяжка в гасителе; с – суммарная жесткость рессорного подвешивания с гасителем колебаний; Fтр – сила сухого трения.

С применением предложенной математической модели (3) гидравлического гасителя колебаний моделировались колебания подпрыгивания пассажирского вагона. Упрощенная расчетная схема части вагона, приходящейся на один гаситель колебаний, приведена на рис. 1.

На рисунке, помимо ранее определенных величин, обозначено перемещение z, которое выступает в качестве неизвестной переменной в дифференциальном уравнении колебаний.

Обозначена также неровность пути, которая задает внешнее периодическое воздействие по формуле:

η=η0sinωt ,                   (5)

где  – амплитуда неровности;  – круговая частота неровности.

 z
 m
 c
 b
 h

Рис. 1.  Расчетная схема для моделирования колебаний

подпрыгивания пассажирского вагона

Fig. 1.  Calculation scheme for modeling the bouncing

vibrations of a passenger car

Дифференциальное уравнение колебаний составим в виде основного уравнения динамики:

.                                         (6)

Преобразуем формулу (6) с учетом (5):

.                                 (7)

Начальные условия можно принять следующими:

.                        (8)

Интегрирование дифференциального уравнения (7) с начальными условиями (8) производилось методом Эйлера, который в данном случае обеспечил достаточно хорошую сходимость (при шаге интегрирования 0,001 с).

Дифференциальное уравнение, составленное на основе «традиционной» математической модели (3) (далее – «линейная модель»), имеет вид:

.                                         (9)

Результаты

С целью проверки предложенной математической модели был выполнен расчет тестового варианта работы гидравлического гасителя, для которого в литературе имелись экспериментальные данные по силовой характеристике [5].

Расчет выполнятся при следующих исходных данных:

– жесткость одного рессорного комплекта (центральная ступень) c = 3,3 кН/м;

– колеблющаяся масса m = 12200 кг; кг/м;

– амплитуда неровности   = 0,07 м;

– круговая частота неровности   = 3,37 рад/с.

Принятые исходные данные позволили получить результаты, соответствующие экспериментальным данным, приведенным в работе [5], а именно: полный ход поршня гасителя – 0,05 м; амплитуда скорости деформации – 0,075 м/с; максимальное значение реакции порядка 9 кН.

Результаты расчета приведены на рис. 2 красной линией. Черной линией показаны экспериментальные данные.

Рис. 2.  Силовые характеристики гидравлического гасителя колебаний

поданнымэкспериментаирасчетов

Fig. 2.  Power characteristics of hydraulic vibration dampener according

to experimental data and calculations

Был также рассчитан аналогичный вариант с применением линейной модели. Начальные условия имели тот же вид (8), а исходные данные были подобраны для получения соответствия результатов экспериментальным данным:  кг/с;  = 0,086 м;  = 3 Рад/с. Результаты расчета по линейной модели приведены на рис. 2 синим цветом.

Обсуждение результатов

Следует отметить, что анализируемый вариант имеет слишком узкий диапазон деформаций (от 0 до 0,05 м), это объясняется наличием в литературных источниках экспериментальных данных именно по этому варианту. Моделирование режимов, приближенных к эксплуатационным, требует дальнейших исследований.

Из приведенных графиков видно, что как линейная, так и квадратичная модели в целом удовлетворительно описывают процесс силовую характеристику гасителя колебаний. Расхождения с экспериментом расчетных данных, полученных по обеим моделям, можно объяснить следующим:

– погрешностями самого эксперимента, в частности, наличием дополнительных искривлений на кривые отдачи (нижняя ветвь, черный цвет);

– недостаточно точным подбором параметров расчетной схемы при расчетах;

– погрешностями результата при применении метода Эйлера;

– неучетом особенностей работы испытательной установки.

Из графиков также можно заключить, что применение традиционной методики с линейной зависимостью силы вносит определенное искажение в характер изменения реакции, которое особенно заметно в граничных положениях поршня. Как следствие, авторы часто предлагают использовать переменный коэффициент вязкого трения, то есть зависимость самого коэффициента трения от скорости, что позволяет получать более адекватные результаты на основе традиционного подхода.

Предлагаемая же в настоящей работе математическая модель с квадратичной зависимостью от скорости обеспечивает получение адекватных результатов с постоянным коэффициентом вязкого трения.

Наиболее обобщенный показатель работы гидравлического гасителя, характеризующий его эффективность, - это величина поглощаемой энергии (работы сил вязкого трения). На силовой характеристике ее можно определить, как площадь фигуры под кривыми сжатия и отдачи. В таблице приведены результаты сравнения значений поглощаемой энергии, полученных по расчетным и экспериментальным данным.

Таблица

Сравнение значений поглощаемой энергии Э, кДж

по расчетным и экспериментальным данным

 Фаза работы Эксперимент Квадратичная модель (3) Линейная модель (1) Э, кДж Э, кДж Расхождение, % Э, кДж Расхождение, % Сжатие 0,317 0,314 0,8 0,345 8,9 Отдача 0,346 0,327 5,6 0,360 4,0 Всего 0,663 0,641 3,3 0,705 6,4

Приведенные результаты показывают, что квадратичная модель имеет меньшее расхождение (почти в два раза) с экспериментом. Это можно объяснить более точным соответствием характеру изменения реакции в граничных точках. Линейная же модель дает несколько завышенные значения энергии, что видно из графика на рис. 2.

Заключение

1. Предложены математические модели силовой характеристики гасителей колебаний на основе сил вязкого трения. Модели основаны на квадратичной зависимости реакции от скорости деформации, что вытекает из уравнений гидравлики.
2. Достоверность предложенной математической модели для гидравлического гасителя колебаний подтверждена путем сравнения результатов с экспериментальными данными из литературных источников. Выявлено удовлетворительное соответствие результатов. Относительное расхождение по величине поглощаемой энергии составило 3,3 %, по максимальному значению реакции – 6,6 %.
3. Традиционная, «линейная» модель гидравлического гасителя вносит искажения в характер силовой характеристики, особенно выраженные в граничных точках. Это заставляет расчетчиков при применении «линейной» модели вводить переменный коэффициент вязкого трения.
4. Предложена математическая модель работы гасителя колебаний на основе эластомера, который предлагается внедрить в конструкцию ходовых частей пассажирских вагонов.
5. Предложенные математические модели могут быть использованы для разработки гасителей колебаний с улучшенными характеристиками при проектировании пассажирских вагонов.

1. Vershinskiy S.A., Danilov V.N., Husidov V.D. Dinamika vagonov. M.: Transport, 1991. 360 s.

2. Chelnokov I.I. Gidravlicheskie gasiteli kolebaniy passazhirskih vagonov. M.: Transport, 1975. 73s.

3. Blohin E.P., Manashkin L.A. Dinamika poezda (nestacionarnye prodol'nye kolebaniya). M.: Transport, 1982. 222 s.

4. Kozlov M.V. Ocenka osnovnyh dinamicheskih harakteristik vagona pri vozmozhnyh otkazah gasiteley razdel'nogo gasheniya kolebaniy: special'nost' 05.22.07 «Podvizhnoy sostav zheleznyh dorog, tyaga poezdov i elektrifikaciya»: avtoreferat dissertacii na soiskanie uchenoy stepeni kandidata tehnicheskih nauk / Kozlov Maksim Vladimirovich; «Moskovskiy gosudarstvennyy universitet putey soobscheniya» (MIIT). M., 2006. 23 s.: il. Bibliogr.: s. 22. Mesto zaschity: «Moskovskiy gosudarstvennyy universitet putey soobscheniya» (MIIT). Tekst: neposredstvennyy.

5. Boryak K.F., Manzaruk M.A. Ocenka raboty ispytatel'nogo stenda igk-90.1 i analiz rezul'tatov ispytaniy gidravlicheskih gasiteley kolebaniy / Tehnicheskaya diagnostika i nerazrushayuschiy kontrol', №2. Odessa, 2013. S. 23-28.

6. Rukovodstvo po tehnicheskomu obsluzhivaniyu i remontu gidravlicheskih i frikcionnyh gasiteley kolebaniy passazhirskih vagonov. Utv. Sovetom po zheleznodorozhnomu transportu gosudarstv - uchastnikov Sodruzhestva. Protokol ot «21-22» oktyabrya 2014 g. № 61. 179 s.

7. Normy dlya rascheta i proektirovaniya vagonov zheleznyh dorog MPS kolei 1520 mm (nesamohodnyh). - M.: GosNIIV-VNIIZhT, 1996 g., 317s.

8. Chugaev R.R. Gidravlika (Tehnicheskaya mehanika zhidkosti). L.: Energoizdat. Leningradskoe otdelenie, 1982. 672 s.

9. Spravochnik po gidravlicheskim raschetam / Pod red. Kiseleva P.G. M.: Energiya, 1972. 312 s.

10. Bashta T.M. Mashinostroitel'naya gidravlika. M.: Mashinostroenie, 1971. 672 s.

11. Vil'ner Ya.M., Kovalev Ya.T., Nekrasov B.B. Spravochnoe posobie po gidravlike, gidromehanike i gidroprivodam. Pod red. B.B. Nekrasova. Minsk: "Vysheshshaya shkola", 1976. 416 s.

12. Andriyanov S.S. Nagruzhennost' elementov specializirovannyh vagonov, oborudovannyh amortizatorami povyshennoy energoemkosti: special'nost' 05.22.07 «Podvizhnoy sostav zheleznyh dorog, tyaga poezdov i elektrifikaciya»: avtoreferat dissertacii na soiskanie uchenoy stepeni kandidata tehnicheskih nauk / Andriyanov Sergey Sergeevich; «Moskovskiy gosudarstvennyy universitet putey soobscheniya» (MIIT). M., 2006. 24 s.: il. Bibliogr.: s. 23-24. Mesto zaschity: «Moskovskiy gosudarstvennyy universitet putey soobscheniya» (MIIT). Tekst: neposredstvennyy.