Ivanovo, Ivanovo, Russian Federation
Ivanovo, Ivanovo, Russian Federation
Ivanovo, Ivanovo, Russian Federation
Ivanovo, Ivanovo, Russian Federation
GRNTI 50.43 Системы автоматического управления, регулирования и контроля
The paper deals with the synthesis of a singlechannel control system of concentration vector in a liquidphase chemical reactor using a state controller. Settings of the state controller are determined using the modal control method. An integral component was introduced into the structure of the state controller to eliminate the static control error and ensure the robustness of the control system.
chemical reactor, state controller, modal control, integral part, nonlinear control object, computer simulation
Введение
Цель функционирования химического реактора – это реализация процесса превращения исходных реагентов в продукты реакции и обеспечение заданного состава реакционной смеси. Показателем ресурсоэффективности является степень превращения какого-либо исходного реагента или выход целевого продукта. Отсюда главной задачей системы автоматизации и управления объектом является задача стабилизации концентрации целевого компонента на оптимальном уровне в условиях действия возмущений. Трудность и проблема решения задачи структурно-параметрического синтеза системы автоматического управления (САУ) обусловлена многомерностью, многосвязностью и нелинейностью математической модели реактора [1]. Несмотря на указанные свойства объекта до настоящего времени для управления процессом используются линейные САУ на базе ПИД-алгоритмов [2, 3]. Поскольку при синтезе линейных систем с использованием моделей «вход-выход» не учитывается многомерность и взаимное влияние координат состояния, в таких системах усиливается влияние параметрических и сигнальных возмущений на качество процессов управления [4]. В настоящее время в условиях возрастания требований к качеству и эффективности управления технологическими процессами является целесообразным применение принципа управления по вектору состояния, основанного на использовании безынерционных регуляторов состояния (РС), либо комбинированных РС, включающих гибкие обратные связи по производным координат состояния или интегралам координат состояния [4-6]. При выбранной структуре системы управления с РС особое значение для обеспечения робастности системы приобретает метод параметрического синтеза системы. Наиболее часто используется для решения этой задачи метод модального управления [7, 8].
В предлагаемой работе решается задача синтеза одноканальной системы управления вектором концентраций в химическом реакторе с использованием регулятора состояния методом модального управления.
Характеристика объекта управления и постановка задачи
Объектом управления является жидкофазный химический реактор емкостного типа, в котором реализуется двухстадийная химическая реакция:
,
,
где A, B – исходные реагенты; Р1, Р2 – продукты реакции; K1, K2 – константы скоростей стадий.
Принципиальная схема реактора представлена на рис. 1. Исходные реагенты A и B подаются в аппарат раздельными потоками. Режим работы реактора – изотермический. Целевым продуктом является вещество Р1; Р2 – побочный продукт.
На рис. 1 обозначено: υ1, υ2 – расходы потоков исходных компонентов; САвх, СВвх – концентрации исходных компонентов; υ – расход смеси на выходе из реактора; t – температура смеси в реакторе; СА, СВ, СР1, СР2 – концентрации продуктов реакции; V – объем смеси в реакторе.
Математическая модель динамики объекта при допущении о постоянстве уровня имеет вид:
(1)
Исходя из требований к содержанию побочного продукта в реакционной смеси (СР2) при заданной нагрузке на аппарат по исходным реагентам {(υ1; САвх), (υ2; СВвх)} были определены режимно-технологические и конструктивные параметры процесса в стационарном установившемся режиме функционирования объекта. Значения параметров представлены ниже: V = 500 л; t = 68.45 °С; υ1= 3 л/мин; υ2 = 3.5 л/мин; САвх = 19.74 моль/л; СВвх = 5 моль/л; K1= 120000 л/(моль мин); K2= 12000 л/(моль мин); СА = 7.21 моль/л;
СВ = 0.787 моль/л; СР1 = 1.843 моль/л.
Задача управления химическим реактором заключается в стабилизации концентрации целевого продукта на заданном значении СР1 = С̅Р1 в условиях действия возмущений. В качестве управляющего воздействия выступает расход потока реагента A – υ1.
Поскольку предполагается синтез САУ на базе РС, проведено исследование устойчивости положения равновесия (свободного движения) объекта и управляемости в пространстве состояний. С этой целью осуществлена линеаризация математической модели объекта в окрестности положения равновесия.
В общем виде линеаризованная в окрестности положения равновесия математическая модель запишется следующим образом:
(2)
где – вектор состояния; u = Δυ1 – управление;
А, В – матрица состояний и управления; у – вектор выходных переменных; F – матрица измерений. Матрицы A, В и F имеют вид:
;
;
.
Были определены собственные числа матрицы A (корни характеристического полинома) det(I·s- A) = 0:
s1= -0.013, s2= -0.047, s3 = -0.0126.
Все собственные числа вещественные и отрицательные, следовательно, объект обладает свойством устойчивости положения равновесия. Для исследования свойства управляемости объекта в пространстве состояний построена и вычислена матрица управляемости: .
Поскольку ранг матрицы управляемости равен 3, то объект полностью управляем в пространстве состояний [9]. Наличие свойств устойчивости свободного движения и полной управляемости объекта позволяет использовать метод модального управления для решения задачи параметрического синтеза РС. Регулятор состояния синтезируется с использованием линеаризованной модели объекта (2), а функционировать будет на реальном нелинейном объекте. Поэтому представляет интерес сравнение динамических характеристик нелинейного и линеаризованного объекта по каналу управления. На рис. 2 представлены кривые разгона по каналам Δυ1→ΔСР1, Δυ1→ΔСА при 20%-м ступенчатом изменении управления.
Анализ графиков показывает, что кривые разгона качественно совпадают, расхождение выходных переменных в установившемся состоянии не превышает ±2%. Можно ожидать, что РС будет работоспособен на нелинейном объекте.
Структурно-параметрический синтез САУ концентрацией
Известно, что для объекта, заданного математической моделью вида (2), теория оптимального управления при использовании квадратичного критерия качества дает закон управления в виде безынерционного регулятора состояния, расположенного в обратной связи системы управления [9]:
, (3)
где k=(k1 k2 k3) – вектор-строка настроечных параметров. Численные значения настроек определяются путем решения уравнений Риккати, что является трудоемкой задачей.
Альтернативным подходом к определению настроек регулятора является использование метода модального управления [8]. По структуре алгоритм (3) является пропорциональным регулятором, который, как известно, не обеспечивает надлежащего отслеживания уставок или возмущающих воздействий по нагрузке в системе. Поэтому желательно введение в алгоритм управления интегральной составляющей, снижающей ошибку регулирования в статике. При этом число переменных состояния, для которых вводится интегральная составляющая, не должно превышать число управляющих воздействий. В нашем случае целесообразно ввести интегральную составляющую по концентрации целевого продукта ΔСР1. Управление в этом случае определяется соотношением:
(4)
Структура одноканальной САУ с учетом изложенного представлена на рис. 3.
Параметрический синтез безынерционного регулятора (3) методом модального управления осуществлялся с использованием процедуры перехода от исходного описания объекта (2) к представлению в канонической управляемой форме (КУФ):
(5)
(6)
где – сопровождающая матрица характеристического полинома исходной матрицы A:
,
,
,
;
– вектор управления.
Желаемый характеристический полином с желаемым спектром собственных чисел имеет вид: . Параметр ω0, определяющий время переходного процесса управления (τр), определим из соотношения [8]: ω0 = τ0/ τр.При τр = 325 мин получим ω0 = 6/325 = 0.0185.
Элементы вектора k̂ в (6) определяются соотношениями:
k̂i+1= di– ai, i= 0, 1, 2; k̂1 = -2.03·10-6; k̂2 = -4.14·10-4; k̂3 = 1.9·10-2.
Переход к коэффициентам обратной связи исходной системы (2) осуществляется по уравнению:
(7)
где – матрица преобразования исходной системы (2) к КУФ (5);
Mu, M̂u – матрица управляемости объекта, заданного исходной моделью (2) и моделью в КУФ (5).
Параметры регулятора состояния исходного объекта согласно (7) примут значения:
k1= -1.25; k2= -15.58; k3= 3.29. Таким образом, управляющее воздействие запишется:
. (8)
Настройки РС с интегральной составляющей определялись по методике, приведенной в [10]. Выражение (4) в явном виде запишется:
. (9)
Исследование работоспособности СУ путем компьютерного моделирования
Регуляторы состояния синтезированы с использованием линеаризованной модели объекта, а функционировать система управления будет на реальном нелинейном объекте. Поэтому моделирование САУ проводили с использованием исходной нелинейной модели (1). Исследовались свойства САУ подавлять внешние возмущения, отслеживать изменение задания (ΔС̅Р1) и способность подавлять параметрические возмущения по константе скорости (ΔК1).
В качестве показателей качества процессов управления использовали время регулирования и величину статической ошибки.
На рис. 4 приведены примеры процессов управления при действии внешнего возмущения по входной концентрации исходного реагента B: ΔСВвх = -0.1СВвх.
Анализ результатов показывает, что САУ на базе безынерционного РС не является инвариантной к возмущению, так как изменение выходной регулируемой переменной ΔСР1 характеризуется наличием недопустимой статической ошибки, в то время как РС с интегральной составляющей успешно компенсирует возмущение ΔСВвхбез статической ошибки.
Аналогичная картина наблюдается при исследовании САУ на ковариантность с заданием по ΔС̅Р1. Установлено, что РС с интегральной составляющей отслеживает изменение задания по ΔС̅Р1= 15% от установившегося значения без статической ошибки. Безынерционный РС характеризуется наличием существенной ошибки регулирования в статике.
Особое внимание уделено исследованию робастности. На рис. 5 приведены переходные процессы управления при 30%-м ступенчатом возмущении по параметру K1: ΔK1 = 0.3K1.
Характер кривых на рис. 5 показывает, что оба варианта САУ обладают свойством устойчивости, но по величине статической ошибки регулирования безынерционный РС следует отвергнуть.
Таким образом, сравнительный анализ качества процессов управления показывает, что работоспособной следует признать САУ на базе РС с интегральной составляющей.
В работе была исследована работоспособность САУ при отсутствии текущих измерений концентраций компонентов А и В (ΔСА = 0; ΔСВ = 0). Алгоритм управления в этом случае представляет собой одномерный ПИ-закон:
.
Исследования показали, что САУ и в этом случае является работоспособной: компенсирует 10%-ое возмущение по ΔСВвх, отслеживает изменение задания по ΔС̅Р1на 15 % и компенсирует 30%-ое параметрическое возмущение по параметру K1.
Заключение
В работе предложена САУ концентрацией веществ в химическом реакторе на базе регулятора состояний, синтезированного методом модального управления. Методом компьютерного моделирования комплекса «нелинейный объект – линейная подсистема управления» показана работоспособность САУ на базе РС с интегральной составляющей, как для случая полного измерения вектора состояния, так и случая измерения только выходной переменной.
1. Sinergetika i problem teorii upravleniya [Synergetics and control theory issues]. Ed. by Kolesnikov A.A. Moscow: FIZMATLIT, 2004. 504 p. [in Russian]
2. Chitturi A., Ravi P.S. PID control of integrating systems using Multiple Dominant Poleplacement method // Asia-Pacific Journal of Chemical Engineering. 2015. V. 10. N. 5. P. 734-742.
3. Krishna D., Suryanarayana K., Aparna G., Sree R.P. Tuning of PID Controllers for Continuous Stirred Tank Reactors // Indian Chemical Enginer. 2012. V. 54. N. 3. P. 157-179.
4. Anisimov A.A., Kotov D.G., Tararykin S.V., Tyutikov V.V. Analiz parametricheskoj chuvstvitel'nosti i strukturnaya optimizaciya system modal'nogo upravleniya s regulyatoramisostoyaniya [Parametric sensitivity analysis and structural optimization of modal control systems with state controllers]. Izvestiya Rossijskoj akademii nauk. Teoriya i sistemyupravleniya. 2011. no. 5. pp. 18-32. [in Russian]
5. Tyutikov V.V., Kotov D.G., Tararykin S.V. Usloviya parametricheskoj grubosti SAU s regulyatorami sostoyaniya [Parametric robustness conditions of ACS with state controllers]. Izvestiya TRTU. 2005. no. 1(45). pp. 53-62. [in Russian]
6. Kotov D.G., Tararykin S.V., Tyutikov V.V. Sintez linejnyh regulyatorov dlya upravleniya sostoyaniem tekhnicheskih ob"ektov [Synthesis of linear regulators for state control of technical objects]. Ivanovo: GOUVPO «IGEU», 2005. 172 p. [in Russian]
7. Vershinin I.V., Tyutikov V.V. Sintez parametricheski grubyh system modal'nogo upravleniya [Synthesis of parametrically robust modal control systems]. Energiya-2015. Desyataya mezhdunarodnaya nauchno-tekhnicheskaya konferenciya studentov, aspirantov i molodyh uchenyh. Sbornik konkursnyh dokladov. 2015. pp. 134-137. [in Russian]
8. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravleniya [Methods of classical and modern automatic control theory]. vol. 2. Sintez regulyatorov i teoriya optimizacii sistem avtomaticheskogo upravleniya [Regulator synthesis and automatic control system optimization theory]. Ed. by Egupov N.D. Moscow: MGTU im. N.E. Baumana, 2000. 736 p. [in Russian]
9. Lee E.B., Markus L. Foundations of optimal control theory. New York: Wiley, 1967. 576 p.
10. Kuzovkov N.T. Modal'noe upravlenie i nablyudayushchie ustrojstva [Modal control and observers]. Moscow: Mashinostroenie, 1976. 184 p. [in Russian]
