Введение Рост численности населения городов и развитие промышленности в регионах непосредственно влекут за собой увеличение количества образующихся бытовых и промышленных отходов. Неправильный сбор, несвоевременное удаление и неудовлетворительное обезвреживание бытовых и промышленных отходов оказывают негативное воздействие на экологическую обстановку в регионе – наносят экологический ущерб окружающей среде, вызывая загрязнение атмосферного воздуха, почвы, поверхностных и подземных вод.  Одним из национальных проектов, реализуемых в настоящее время на территории РФ, является проект «Экология» (2019 – 2024 гг.), который нацелен на «Создание устойчивой системы обращения с твердыми коммунальными отходами, обеспечивающей сортировку отходов в объеме ста процентов…» [1]. Реализация данного проекта предполагает организацию в каждом регионе РФ полигонов для хранения, утилизации и обезвреживания отходов производства и потребления, что является важным элементом жизнеобеспечения населения данного региона. Количество и площадь полигонов зависит от численности жителей населённых пунктов, обслуживаемых полигонами, их площади и конфигурации, дальности транспортировки отходов.В научной литературе описываются различные математические методы и модели, позволяющие определить оптимальное расположение различных объектов инфраструктуры. Среди них можно выделить простые методы (эвристический метод Ардалана, метод центра тяжести, метод пробной точки, метод сетки и т.д.) дающие экспресс оценку, поскольку в их основе лежит большое количество допущений и сложные методы и модели (метод калькуляции затрат, метод начисления баллов, метод аналитической иерархии, методы сетевого моделирования, метод непрерывной и дискретной оптимизации), позволяющие определить более точное решение поставленной задачи [2 – 7].Рассмотренные подходы в большинстве своем применимы для решения задач определения оптимального места расположения объекта логистической инфраструктуры – производственного предприятия, склада, распределительного центра, торговой точки [10 – 16]. Материалы и методы Места расположения полигонов определяются на основе анализа ряда факторов: экологических, экономических, социальных [8, 9]. Экономические факторы размещения полигона предполагают затраты на разработку проекта, строительство, функционирование объекта и перевозку отходов. Таким образом, экономические затраты на организацию полигонов для хранения, утилизации и обезвреживания отходов производства и потребления включают в себя затраты на строительство полигонов, их эксплуатацию и логистику ТКО.  Для временного периода k лет функция затрат может быть представлена в виде , где  ­– сметная стоимость строительства i-ого полигона мощностью Q (т/год);  – удельная стоимость эксплуатации i-ого полигона мощностью Q за один год; – затраты на логистику ТКО для n полигонов за один год.Авторами предлагается методологический подход, позволяющий спроектировать оптимальную сеть мусорных полигонов с учетом таких ключевых факторов, как образуемая в каждом МО масса ТКО и имеющаяся транспортная сеть. Подход предполагает реализацию трех этапов (рис. 1): выбор мест расположения полигонов; расчет стоимости строительства полигонов; построение и расчет оптимального значения целевой функции. Рис. 1. Этапы поиска оптимумаFig. 1. Stages of searching for the optimumНа первом этапе на основе расчета логистических затрат определяются МО, на территории которых целесообразно размещение полигона ТКО. Выбор места расположения очередного (j+1)-го полигона предлагается осуществлять посредством реализации алгоритма:1. Разбиение маршрутного графа на цепи (от фиксированных полигонов до листов). 2. Определение в каждой цепи главного узла – узел с наибольшей массой ТКО (потенциальный (j+1)-ый полигон ). 3. Для каждого главного узла 1) создание группы из n узлов  из условия, что расстояние от i-ого узла до главного узла d→min;2) прикрепление не присоединённых к этой группе узлов к одному из фиксированных полигонов  , , …, , исходя из условия, что расстояние от i-ого узла до полигона d→min;3) расчет годовых логистических затрат для сети полигонов { , , …, , }  на основе данных из табл. 2, 3;4) расчет экономической эффективности .4. Выбор среди главных узлов j+1-ого полигона из условия .5. Проведение итерации по ребрам, исходящим из j+1-го полигона, с целью уточнения местоположения полигона на основе расчета затрат. Постановка задачи Рассмотрим задачу поиска количества и мест расположения полигонов для сбора, обработки и утилизации ТКО в Республике Коми N. Регион N территориально включает в себя четырнадцать муниципальных образований с административными центрами  (рис. 2). Рис. 2. Схема дорожной развязки регион N (маршрутный граф)Fig. 2. Road junction diagram region N (route graph)Данные, по каждому МО региона, необходимые для расчётов представлены в таблицах (табл. 1 – 3).Таблица 1Масса ТКО по МОTable 1Mass of SMW according to MOМОNi N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 Масса ТКОQi , т/год9904472705144588055220310941282814230916414639412929824184Стоимость перевозки от площадки временного накопления до полигона 1 м3 ТКО составляет 1,42 руб/км. Исходя из усредненной величины плотности отходов ТКО 250 кг/м3 (0,25 т/м3), стоимость перевозки одной тонны ТКО составит m=1,42⋅4=5,68  руб/км. На основе данных из табл. 1 произведен расчет затрат на перевозку ТКО по формуле pi=Qi⋅m  (см. табл. 2).Таблица 2Затраты на перевозку ТКО на 1 километр в год по МО (руб/км)Table 2Costs for transporting SMW per 1 kilometer per year according to MOМО Ni N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 затраты , руб.562569,9241293,6029217,9233398,40313649,6017659,1223447,0415983,5213115,129320,8826349,5223452,7216937,7623765,12Таблица 3Расстояния от административных центров МО до перекрестков (км)Table 3Distances from the administrative centers of MO to intersections (km)d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 d13 d14 d15 672718961190180321782071274713981104100Необходимо найти экономически оптимальное решение поставленной задачи, т.е. определить такое количество и местоположение полигонов, которое обеспечило бы минимальные экономические затраты на логистику, строительство и эксплуатацию полигонов. Результаты На первом шаге фиксируется место положения одного полигона П1  в МО с наибольшей годовой массой ТКО, т.е. в окрестности административного центра N1 . На основе данных из табл. 2, 3 рассчитаны годовые логистические затраты для полигона П1  Р1=168572914,4  руб.Посредством реализации вышеописанного алгоритма определяется место расположения второго полигона П2 .Таблица 4Расчетные данные для определения места расположения второго полигонаTable 4Calculation data for determining the location of the second polygonГлавный узел, МООбщие логистические затраты P2 , руб.Экономическая эффективность Р1-P2 , руб.N2 145 254 72023 318 195N5 46 507 215122 065 699N11 163 671 9044 901 011N12 164 327 9724 244 942N13 164 546 2944 026 620  Рис. 3. Разбиение на цепи маршрутного графа, выбор главных узловFig. 3. Partitioning the route graph into chains, selecting main nodes На основании расчетов фиксируется место расположения второго полигона П2  в окрестности административного центра N5 . Проводятся итерации по ребрам, исходящим из административных центров N1  (d1,d11,d13 ) и N5  (d5,d6,d7 ) с целью расчета затрат и уточнения места расположения полигонов П1  и П2 . На основании проведенных расчетов определяются места положения полигонов (рис. 4). Рис. 4. Маршрутный граф, фиксированные полигоны П1 , П2 Fig. 4. Route graph, fixed polygons П1 , П2  Таблица 5Привязка МО к фиксированным полигонам П1 , П2 Table 5Binding MO to fixed polygons П1 , П2 П1  МО N1 N1 , N2 , N3 , N4 , N10 , N11 , N12 , N13 , N14 Мощность 134 913 т/годП2  МО N5 N5 , N6 , N7 , N7 , N9 Мощность 67 580 т/годНаименьшие логистические затраты для двух полигонов П1  и П2  составят Р2=46 507 215  руб.Посредством реализации алгоритма определяется место расположения третьего полигона П3 . Для этого на каждой цепи выделены главные узлы (рис. 5). Рис. 5. Разбиение на цепи маршрутного графа, выбор главных узловFig. 5. Partitioning the route graph into chains, selecting main nodes Таблица 6Расчетные данные для определения места расположения третьего полигонаTable 6Calculation data for determining the location of the third polygonГлавный узел, МООбщие логистические затраты P3 , руб.Экономическая эффективность Р2-P3 , руб.N2 38 543 1967 964 019N4 41 809 1514 698 064N6 43 328 5743 178 642N7 41 583 3374 923 878N8 39 552 6406 954 575N11 41 606 2044 901 011N12 42 262 2734 244 942N13 42 480 5954 026 620На основании расчетов фиксируется место расположения третьего полигона П3  в окрестности административного центра N2 . Проводятся итерации по ребрам, исходящим из административных центров N1  (d1,d11,d13 ), N5  (d5,d6,d7 ) и N2  (d2,d3 ) с целью расчета затрат и уточнения места расположения полигонов П1 , П2  и П3 . На основании проведенных расчетов определяются места положения полигонов (рис. 6). Рис. 6. Маршрутный граф, фиксированные полигоны П1 , П2 , П3 Fig. 6. Route graph, fixed polygons П1 , П2 , П3  Таблица 7Привязка МО к фиксированным полигонам  П1 , П2 , П3 Table 7Linking MO to fixed polygons П1 , П2 , П3 П1  МО N1 N1 , N10 , N11 ,  N12 , N13 , N14 Мощность 116 619 т/годП2  МО N5 N5 , N6 , N7 , N8 , N9 Мощность 67 580 т/годП3  МО N2 N2 , N3 , N4 Мощность 18 294 т/годНаименьшие логистические затраты для трех полигонов П1 , П2  и П3  составят Р3=38 543 196  руб.Посредством последовательной реализации алгоритма, определяется место положения полигонов П4 , П5 , П6  и П7 .На втором этапе решения задачи проведен анализ имеющихся данных о проектной стоимости строительства и мощности ряда полигонов в регионе N и построена линейная функциональная зависимость стоимости строительства полигона от мощности (рис. 7).  Рис. 7. Линия тренда стоимости строительства полигона от мощностиFig. 7. Trend line of landfill construction cost versus capacityНайденная функциональная зависимость позволяет рассчитать приближенную стоимость строительства полигона мощностью QiSiQ=26020⋅Qi+334100000  (табл. 8).Третий этап решения задачи предполагает построение и расчет оптимального значения целевой функции. Анализируя функцию затрат Z=i=1nSi(Q)+ki=1nEiQ+k⋅Pn  можно заметить, что сумма удельных стоимостей эксплуатации n полигонов i=1nEiQ , включающая в себя затраты на обработку ТКО внутри полигонов (складирование, прессовка и т.д.), представляет собой величину постоянную для данного региона, определяемую объемом ТКО и не зависящую ни от количества, ни от мест расположения полигонов. Следовательно, эта составляющая не будет оказывать влияние на выбор оптимального решения.  Таким образом, в качестве целевой функции предлагается рассматривать функцию Z1=i=1nSi(Q)+20Pn , описывающую суммарные затраты на строительство полигонов и логистику ТКО на период 20 лет. Данные, полученные на первых двух этапах, позволяют рассчитать значение целевой функции для различного числа полигонов (табл. 9, рис. 8). Таблица 8Расчет стоимости строительства полигоновTable 8Calculation of the cost of construction of landfillsОдин полигонП1       Мощность, т/год202 493      Стоимость,  руб.5 568 867 860      Два полигонаП1 П2      Мощность, т/год134 91367 580     Стоимость,  руб.3 810 436 2602 058 431 600     Три полигонаП1 П2 П3     Мощность, т/год116 61967 58018 294    Стоимость,  руб.3 334 426 3802 058 431 600776 009 880    Четыре полигонаП1 П2 П3 П4    Мощность, т/год116 61962 45718 2945 123   Стоимость,  руб.3 334 426 3801 925 131 140776 009 880433 300 460   Пять полигоновП1 П2 П3 П4 П5   Мощность, т/год116 61962 45713 1505 1235 144  Стоимость,  руб.3 334 426 3801 925 131 140642 163 000433 300 460433 846 880  Шесть полигоновП1 П2 П3 П4 П5 П6  Мощность, т/год116 61958 32913 1505 1235 1444 128 Стоимость,  руб.3 334 426 3801 817 720 580642 163 000433 300 460433 846 880407 410 560 Семь полигоновП1 П2 П3 П4 П5 П6 П7 Мощность, т/год111 98058 32913 1505 1235 1444 1284 639Стоимость,  руб.3 213 719 6001 817 720 580642 163 000433 300 460433 846 880407 410 560420 706 780Таблица 9Расчет значений целевой функции Z1=i=1nSi(Q)+20Pn Table 9Calculation of objective function values Z1=i=1nSi(Q)+20Pn ​​   Рис. 8. Зависимость суммарных затрат от количества полигонов (срок эксплуатации 20 лет)Fig. 7. Dependence of total costs on the number of landfills (operation life 20 years) Минимальные суммарные затраты составят Z1=6 799 012 160  руб., в том числе затраты на строительство полигонов S1134 913+S267 580=5 868 867 860  руб. и затраты на логистику ТКО 20⋅Р2=20⋅46 507 215=930 144 300  руб. Заключение В заключение следует отметить, что разработанный алгоритм позволяет избежать многократных итераций при поиске оптимального значения в обратном направлении, в виду высокой проектной стоимости строительства полигона. Проведенные расчеты дали возможность сформулировать оптимальное решение – строительство полигонов для хранения, утилизации и обезвреживания отходов производства и потребления в двух муниципальных округах МО Республики Коми, что обеспечит минимальные экономические затраты на строительство, эксплуатацию полигонов и логистику ТКО.