Введение Исследования явлений, происходящих в зоне контакта частиц сыпучих материалов,  выполнены при их движении в винтовых барабанах. Для лучшего представления  сложности явлений, происходящих при движении сыпучих материалов в винтовых барабанах, некоторые из них выполнены в  программном комплексе «Компас-3D» (рис. 1).      Рис. 1. Разновидности винтовых барабанов: а – с тремя винтовыми     линиями по периметру; б – с пятью винтовыми линиями     по периметру; в – с шестью винтовыми линиями по периметру  При анализе кинематики движения частиц сыпучих материалов рассматриваются винтовые барабаны, особенностью которых являются явно выраженные цилиндрические винтовые линии по периметру. При вращении винтовых барабанов частицы сыпучих материалов совершают сложное пространственное движение, непрерывно  перемещаясь  вдоль  их внутренних  стенок. Если задаться какой-то средней скоростью перемещения и временем выполнения технологического процесса  t, то при перемещении частиц сыпучих материалов вдоль оси вращения винтовых  барабанов  можно оценить такой геометрический параметр барабана,  как его  длина Lв.б. Угол наклона образующей винтовой линии относительно оси вращения  винтового барабана j = Const  (рис. 2), а длина участка ребра плоских элементов (является секущей этой линии) равна диаметру d вписанной внутри барабана сферы. Поэтому для изучения кинематики движения частиц сыпучих материалов и производительности необходимо  учесть  неизменные угловые параметры   винтового барабана, определяющие пространственную геометрию перемещаемых частиц (j = Const задает основную направленность их перемещения и потому является основным угловым параметром).                                 Рис. 2. Винтовой барабан с тремя винтовыми линиями                                                      по периметру (вид спереди)  Эти параметры являются сложными функциями состояния кинематических параметров перемещения частиц сыпучих материалов и времени выполнения технологического процесса. Исходя из характера технологического процесса  время его выполнения  должно быть оптимальным, что, безусловно, усложняет задачу определения параметров Lв.б и d, а следовательно, и размеров винтового барабана, так как должна решаться задача оптимизации его конструкции в целом.Для создания методики расчета и проектирования винтовых барабанов необходимо изучить явления, происходящие в зоне контакта частиц сыпучих материалов. Эту актуальную и своевременную задачу целесообразно решать с использованием методов теории подобия и размерностей.  Материалы и методы Вначале проведем оценку скорости упругого скольжения в зоне контакта частиц  сыпучих материалов.При  движении частиц сыпучих материалов и их соприкосновении под влиянием силы Rn  образуется площадка контакта 2b×1  (рис. 3). Полюсом в относительном  движении 1-й и 2-й частиц является некоторая точка касания  центроидных кругов, положение которой определяется следующими условиями: ω1   1ц  =  ω2   2ц ;                                                                           (1) 1ц  +  2ц =  1  +  2  - W = А ;                                         (2)                r 2ц  =  1ц ω1ω2ф =  1ц ω1θ·ω2 и  1ц = А1+i21θ , где i21= r2r1 ;                       (3) 21 r2 = А –  1ц = А ∙1 – 11+i21θ = А1+θi21    .                                                          (4) Здесь   = ω2фω2 – коэффициент скольжения; i21 = Г2Г1  = ω1ω2 – передаточное отношение; ω2ф – угловая скорость 2-й частицы сыпучих материалов.  Рис. 3. Схема контакта частиц  сыпучих материалов  Рассмотрим кинематику точек К1 и К2, принадлежащих поверхностям 1-й и 2-й частиц  сыпучих материалов соответственно (т. Кх на расстоянии Х до т. Р на линии площадки контакта А1В1).Переносная скорость точки К1  имеет вид Vк1 = ω1 ∙ r1х , а ее относительная скорость - Vк1n =  Vк1∙tgφ.   Тогда абсолютная скорость точки  К1  равна:   Vк1х = Vк1cosφ .                                                       (5)Величина радиуса                                                            r1х= r1∙ cosφmcosφ,                                                                     (6) где                                                                        sinφm = вr1    и    cosφm = 1- вr12.              Используя формулы (5) и (6), найдем величину абсолютной скорости точки Vк1х :Vк1х = ω1 r1 cosφmcos2φ = ω1 r1 1 - вr121 – хr12 ≈ 1 –0,5вr121 - хr12∙ ω r1.                        (7)Так как cosφ = 11+ tg2φ = 11+ Хr1 · cosφm2 = 11+ Хr1 ∙ 1 - вr12, то, применяя методы вычислений с числами, мало отличающимися от единицы, α ⇉0, введем упрощения:1 ± α = 1 ± 0,5α ; 11 ± α = 1 ∓ α ; 1 ± α2 = 1 ±2α.Будем считать 22 cosφ = 1 – 0,5Хr12∙ 1+0,5вr12 ≈1 –0,5Хr12;cos2φ ≈1 - Хr12.По аналогии определим абсолютную скорость точки К2: Vк2х = ω2 r2 ∙ 1 - 0,5Br221-Хr22 .                                             (8)Скорость упругого скольжения связана с относительными скоростями  деформаций:Vкcх= Vк1х- Vк2х= ω1 r1∙ 1-0.5Br121 - Хr12   ω2ф∙ r2∙ 1-0.5Br221 - Хr22 == ω1∙  r1∙ 1-0.5Br121 - Хr12 - ω2ф∙ r2ω1 · r1 ∙ 1-0.5Br221 - Хr22.С учетом (4)Vкcх=  ω1 ∙ r1∙1-0.5Br121 - Хr12 – θ∙ 1-0.5Br221 - Хr22,                                (9)или       Vкcх=ω1 r1∙δ –0,5Br12+ Хr12+0,5∙θ∙Br22- θ∙Хr22 ,                        (10)где δ= 1 - θ – коэффициент относительного скольжения,δ= 1 - θ = 1 - ω2фω2= ω2 - ω2ф ω2= V2 - V2ф V2= VотнV2 .Анализируя формулу (9), запишем:Vкcхω1 · r1= 1-0.5Br121 - χ2Br12 – θ∙ 1-0.5Br221-χBr22=П1 - θ∙П2 ,где   χ= ХВ∙ П1 – первый член в виде дроби, П2 – второй. При χ< 0,5 П1<1  и П2<1, при χ> 0,5 П1>1  и П2>1.Преобразуем формулу (10) к видуVксхu= Vксхω1 · r1= δ- 0,5-χ2∙ Br12+ θBr22=                                     = δ-0,5-χ2∙q = δ-u∙q.                                                       (11) Придав  конкретные значения величинам Br1,  Br2, θ,   δ=1- θ,  χ , т.е. δ,  q,  χ , найдем значения Vксхu, обеспечивающие построение номограмм Vксхuδ, q, χ. Следует обратить внимание на множитель 0,5-χ2. Так как 0<χ<1,0, то величина 0,5-χ2=fχ выразится  частными  значениями (табл. 1). Таблица 1Частные   значения 0,5-χ2=fχχ0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0:u = 0,5-χ20,50,490,460,40,340,250,140,01-0,14-0,34-0,5 Величину q= Br12+ θ Br22 с вполне пренебрежимым округлением можно считать приближенно равнойq= Br12+Br22=Br12∙1+1i212.                             (12) 23 На рис. 4, 5 изображены номограммы, рассчитанные по формуле (11).  Номограмма  Vксхu χ, δ при q=0,0160 (B=0,24мм, r1=6,0мм, r2=2.0мм) скоростей упругого скольжения Vксхu , связанная  с относительными скоростями  деформаций,  в  инвариантном виде,  по половине площадки контакта А1В1 частиц  сыпучих материалов  (вторая половина имеет  симметричную эпюру), представлена на рис. 4.Нижняя кривая соответствует значению δ=0,0, когда Vксхu  0 до  = 0,705, Vксхu>0 при  χ>0,705 . Рис. 4. Номограмма Vксхu= Vксхω1 · r1 = (δ,  χ) при q = 0,0160  Заметим, что при  >0,070  и q=0,0160 относительное упругое скольжение остается положительным на протяжении всего цикла контакта,  а при δ<0,0070 существует зона отрицательных смещений поверхности 1-й частицы относительно 2-й частицы сыпучих материалов. Совершенно очевидно, что фрикционное вращение 2-й частицы возможно лишь в том случае, когда силы трения в зонах положительных Vксхu больше, чем силы трения в зонах отрицательных Vксхu.На рис. 5 изображена рассчитанная по формуле (11) номограмма скоростей упругого скольжения Vксхu при q = 0,0040, связанная  с относительными скоростями деформаций, в инвариантном виде на половине площадки контакта А1В1 частиц  сыпучих материалов.Для определения условий равновесного установившегося процесса контактирования  частиц сыпучих материалов проанализируем силовые параметры их контактирующих поверхностей.Контактные напряжения при соприкосновении  частиц сыпучих материалов выражаются величиной  q0=0,798Р D1+D2D1 ∙ D21-μ12Е1 + 1-μ22Е2,                                               (13)  24 где  Р=Rnв – нагрузка на единицу длины линии контакта вдоль образующей; D1+D2 –  диаметры 1-й и 2-й частиц сыпучих материалов; μ1 и Е1, μ2 и Е2 – коэффициенты Пуассона и модули продольной упругости для материалов  частиц. Рис. 5. Номограмма Vксхu=Vксхω1∙r1=fvcδ1χ при q = 0,0040                            Ширина полоски контактаC = 2B = 1,6 Р∙D1∙D2D1+D2 1-μ12Е1+1-μ22Е2.                              (14)         Закон распределения напряжений на площадке по ходу относительного движения частиц сыпучих материалов – эллиптический: σх2     σхm2+ХВ2=1,                            (15)откуда следуетσх=σхm∙1-ХВ2,                   (16)Выражая Х = χ∙В и подставляя это значение в рассматриваемое выражение, найдем:σх=σхm∙1-χ2 = σхm∙σхu.                (17)Частные значения σхu=σхσm в зависимости от χ= ХВ даны в табл. 2, а кривая распределения напряжений по половине площадки А1В1 представлена на рис. 6. Если откладывать σхu=1  (в точке χ=0) в масштабе χ , то кривая эллипса превращается в дугу окружности радиуса 1. Таблица 2 Частные значения σхu=σхσmχ0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0fх10,00000,10480,19850,29610,38940,47850,56200,63990,70500,75620,7854fх20,78540,68070,58690,48930,39600,30690,22340,14550,08040,02920,00fх1-fх2-0,7854-0,5859-0,3884-0,1932-0,0066+0,1716+0,3386+0,4944+0,6246+0,6246+0,7854       Тогда нагрузка на площадку контакта с В = 1 мм может быть представлена в виде 25 Р=201σхm∙В∙1-χ2 ∙ ∙dχ=2σхm∙ВХ21-χ2 +0,5aгс sinχ        (18)или                          Р= 2∙σхm ∙В∙π4 = π2  ∙ σхm∙В.                                                              (19)В интервале от 0 до                                 Р1=20χσхm∙В1-χ2 dχ=2σхm∙В∙Х2 ∙1-χ2 +0,5aгс sinχ=   =2σхm∙В∙fх1,                                                    (20)в интервале от  до 1Р2= Р-Р1=2σхm∙ Вπ4 –Х21-χ2 -0.5aгс sinχ=2σхm∙В∙fх2.      (21)                                                  Рис. 6. Распределение напряжений на площадке контакта                                                                           частиц сыпучих материалов  Придавая  конкретные частные значения, найдем значения fх1 и fх2, представленные в табл. 2.В связи с появлением упругих деформаций в перекатывающихся соприкасающихся поверхностях частиц  сыпучих материалов между ними, по Рейнольдсу,  неизбежно возникает упругое относительное скольжение. При этом по ширине  полоски  контакта возникают три характерных участка: два участка  скольжения  по краям и один участок   сцепления  в средней части  контакта.Скорость относительного скольжения в дифференциальном виде выражается величиной          VOTH= d SOTHdt  = dSOTHdφdφdt= ω1∙dSOTHdφ= Vксхu∙ω1r1,             (22) где Vксхu= Vотнω1∙r1 - инвариант VOTH.          Отсюда определяется элементарное смещение точки поверхности одного компонента  сыпучих материалов  относительно другого:d Sотн= Vксхu∙r1∙dφ.                            (23)          Полное смещение точки одной частицы сыпучих материалов по поверхности второй частицы с момента начала рассматриваемого цикла контакта с учетом формулы (11) имеет вид                  Sотн=r1-φmφVксхu∙ dφ= r1-φmφσ-0,5-χ2∙q∙ dφ=               = r1∙σ-0,5∙q∙φ-φmφ+r1В∙qφ2-sin2φ4,               (24) где подставлены φ=ХВ = r1В ∙sinφ;  φ=аrcsinBχr1 и табличный интеграл -φmφsin2φ∙ dφ=φ2-sin2φ4          Подставляя в (24) пределы интегрированияφ= аrcsinB∙χr1; -φm= аrcsin-Br1, 26 получим:  Sотн=r1φ-0,5∙q∙аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1+r1B2∙q2аrcsinBχr1+  + аrcsinBr1-12sin2аrcsinBχr1-12sin2аrcsinBr1.                                                             (25)                                                                                                                  Так какsin2аrcsinBχr1=2B∙χr1∙cosаrcsinBχr1=2Bχr1∙1-B∙χr12иsin2аrcsinBr1=2Br1∙1-Br12,формула (25) приводится к видуSотн=r1∙ξ1=r1∙φ-0,5q∙аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1+r12∙q2B2аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1--B∙χr11-B∙χr12-Br11-Br12 ,              (26) где ξ1 – безразмерный коэффициент смещения одной частицы сыпучих материалов относительно другой  за цикл контакта.          Полное смещение точки одной частицы сыпучих материалов по поверхности второй за цикл контакта определяется после подстановки в формулу (26):  Sотн=ξ2∙r1=2φ-0,5∙qаrcsinBr1+r12q2B2аrcsinBr1-Br11-Br12∙r1,  (27)где ξ2 = Sотнr1 – безразмерный коэффициент полного смещения за цикл контакта (рис. 7).  Рис. 7. Безразмерный коэффициент полного смещения частиц сыпучих материалов за цикл контакта Заключение  27В результате проведенных исследований физических явлений, происходящих в зоне контакта частиц сыпучих материалов, с помощью аппарата безразмерных кинематических функций и анализа размерностей изучен не один какой-либо случай  оценки скорости упругого скольжения контактирующих поверхностей и их силовых параметров, а бесчисленное множество различных случаев, объединенных  общностью  свойств.В инвариантном виде получены зависимости для определения скорости упругого скольжения контактирующих поверхностей и их силовых параметров, а также намечены пути оптимизации размеров рабочих органов оборудования в виде винтового барабана. Показано,  что   для  создания  методики расчета и проектирования винтовых барабанов  необходимо получить в инвариантном виде зависимости для определения мощности, расходуемой на трение  при упругом относительном скольжении в зоне контакта частиц сыпучих материалов, работы сил трения упругого скольжения, скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов, а следовательно, и размеров винтового барабана, решая таким образом задачу оптимизации его конструкции в целом.Введение  Исследования явлений, происходящих в зоне контакта частиц сыпучих материалов,  выполнены при их движении в винтовых барабанах. Для лучшего представления  сложности явлений, происходящих при движении сыпучих материалов в винтовых барабанах, некоторые из них выполнены в  программном комплексе «Компас-3D» (рис. 1).       Рис. 1. Разновидности винтовых барабанов: а – с тремя винтовыми     линиями по периметру; б – с пятью винтовыми линиями     по периметру; в – с шестью винтовыми линиями по периметру   При анализе кинематики движения частиц сыпучих материалов рассматриваются винтовые барабаны, особенностью которых являются явно выраженные цилиндрические винтовые линии по периметру. При вращении винтовых барабанов частицы сыпучих материалов совершают сложное пространственное движение, непрерывно  перемещаясь  вдоль  их внутренних  стенок. Если задаться какой-то средней скоростью перемещения и временем выполнения технологического процесса  t, то при перемещении частиц сыпучих материалов вдоль оси вращения винтовых  барабанов  можно оценить такой геометрический параметр барабана,  как его  длина Lв.б. Угол наклона образующей винтовой линии относительно оси вращения  винтового барабана j = Const  (рис. 2), а длина участка ребра плоских элементов (является секущей этой линии) равна диаметру d вписанной внутри барабана сферы. Поэтому для изучения кинематики движения частиц сыпучих материалов и производительности необходимо  учесть  неизменные угловые параметры   винтового барабана, определяющие пространственную геометрию перемещаемых частиц (j = Const задает основную направленность их перемещения и потому является основным угловым параметром).                                  Рис. 2. Винтовой барабан с тремя винтовыми линиями                                                      по периметру (вид спереди)   Эти параметры являются сложными функциями состояния кинематических параметров перемещения частиц сыпучих материалов и времени выполнения технологического процесса. Исходя из характера технологического процесса  время его выполнения  должно быть оптимальным, что, безусловно, усложняет задачу определения параметров Lв.б и d, а следовательно, и размеров винтового барабана, так как должна решаться задача оптимизации его конструкции в целом.Для создания методики расчета и проектирования винтовых барабанов необходимо изучить явления, происходящие в зоне контакта частиц сыпучих материалов. Эту актуальную и своевременную задачу целесообразно решать с использованием методов теории подобия и размерностей.   Материалы и методы  Вначале проведем оценку скорости упругого скольжения в зоне контакта частиц  сыпучих материалов.При  движении частиц сыпучих материалов и их соприкосновении под влиянием силы Rn  образуется площадка контакта 2b×1  (рис. 3). Полюсом в относительном  движении 1-й и 2-й частиц является некоторая точка касания  центроидных кругов, положение которой определяется следующими условиями:  ω1   1ц  =  ω2   2ц ;                                                                           (1) 1ц  +  2ц =  1  +  2  - W = А ;                                         (2)                r 2ц  =  1ц ω1ω2ф =  1ц ω1θ·ω2 и  1ц = А1+i21θ , где i21= r2r1 ;                       (3) 21 r2 = А –  1ц = А ∙1 – 11+i21θ = А1+θi21    .                                                          (4)  Здесь   = ω2фω2 – коэффициент скольжения; i21 = Г2Г1  = ω1ω2 – передаточное отношение; ω2ф – угловая скорость 2-й частицы сыпучих материалов.   Рис. 3. Схема контакта частиц  сыпучих материалов   Рассмотрим кинематику точек К1 и К2, принадлежащих поверхностям 1-й и 2-й частиц  сыпучих материалов соответственно (т. Кх на расстоянии Х до т. Р на линии площадки контакта А1В1).Переносная скорость точки К1  имеет вид Vк1 = ω1 ∙ r1х , а ее относительная скорость - Vк1n =  Vк1∙tgφ.    Тогда абсолютная скорость точки  К1  равна:   Vк1х = Vк1cosφ .                                                       (5)Величина радиуса                                                            r1х= r1∙ cosφmcosφ,                                                                     (6) где                                                                        sinφm = вr1    и    cosφm = 1- вr12.              Используя формулы (5) и (6), найдем величину абсолютной скорости точки Vк1х :Vк1х = ω1 r1 cosφmcos2φ = ω1 r1 1 - вr121 – хr12 ≈ 1 –0,5вr121 - хr12∙ ω r1.                        (7)Так как cosφ = 11+ tg2φ = 11+ Хr1 · cosφm2 = 11+ Хr1 ∙ 1 - вr12, то, применяя методы вычислений с числами, мало отличающимися от единицы, α ⇉0, введем упрощения:1 ± α = 1 ± 0,5α ; 11 ± α = 1 ∓ α ; 1 ± α2 = 1 ±2α.Будем считать 22 cosφ = 1 – 0,5Хr12∙ 1+0,5вr12 ≈1 –0,5Хr12;cos2φ ≈1 - Хr12.По аналогии определим абсолютную скорость точки К2: Vк2х = ω2 r2 ∙ 1 - 0,5Br221-Хr22 .                                             (8)Скорость упругого скольжения связана с относительными скоростями  деформаций:Vкcх= Vк1х- Vк2х= ω1 r1∙ 1-0.5Br121 - Хr12   ω2ф∙ r2∙ 1-0.5Br221 - Хr22 == ω1∙  r1∙ 1-0.5Br121 - Хr12 - ω2ф∙ r2ω1 · r1 ∙ 1-0.5Br221 - Хr22.С учетом (4)Vкcх=  ω1 ∙ r1∙1-0.5Br121 - Хr12 – θ∙ 1-0.5Br221 - Хr22,                                (9)или       Vкcх=ω1 r1∙δ –0,5Br12+ Хr12+0,5∙θ∙Br22- θ∙Хr22 ,                        (10)где δ= 1 - θ – коэффициент относительного скольжения,δ= 1 - θ = 1 - ω2фω2= ω2 - ω2ф ω2= V2 - V2ф V2= VотнV2 .Анализируя формулу (9), запишем:Vкcхω1 · r1= 1-0.5Br121 - χ2Br12 – θ∙ 1-0.5Br221-χBr22=П1 - θ∙П2 ,где   χ= ХВ∙ П1 – первый член в виде дроби, П2 – второй. При χ< 0,5 П1<1  и П2<1, при χ> 0,5 П1>1  и П2>1.Преобразуем формулу (10) к видуVксхu= Vксхω1 · r1= δ- 0,5-χ2∙ Br12+ θBr22=                                     = δ-0,5-χ2∙q = δ-u∙q.                                                       (11)  Придав  конкретные значения величинам Br1,  Br2, θ,   δ=1- θ,  χ , т.е. δ,  q,  χ , найдем значения Vксхu, обеспечивающие построение номограмм Vксхuδ, q, χ. Следует обратить внимание на множитель 0,5-χ2. Так как 0<χ<1,0, то величина 0,5-χ2=fχ выразится  частными  значениями (табл. 1).  Таблица 1Частные   значения 0,5-χ2=fχχ0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0:u = 0,5-χ20,50,490,460,40,340,250,140,01-0,14-0,34-0,5 Величину q= Br12+ θ Br22 с вполне пренебрежимым округлением можно считать приближенно равнойq= Br12+Br22=Br12∙1+1i212.                             (12) 23 На рис. 4, 5 изображены номограммы, рассчитанные по формуле (11).   Номограмма  Vксхu χ, δ при q=0,0160 (B=0,24мм, r1=6,0мм, r2=2.0мм) скоростей упругого скольжения Vксхu , связанная  с относительными скоростями  деформаций,  в  инвариантном виде,  по половине площадки контакта А1В1 частиц  сыпучих материалов  (вторая половина имеет  симметричную эпюру), представлена на рис. 4.Нижняя кривая соответствует значению δ=0,0, когда Vксхu  0 до  = 0,705, Vксхu>0 при  χ>0,705 .  Рис. 4. Номограмма Vксхu= Vксхω1 · r1 = (δ,  χ) при q = 0,0160   Заметим, что при  >0,070  и q=0,0160 относительное упругое скольжение остается положительным на протяжении всего цикла контакта,  а при δ<0,0070 существует зона отрицательных смещений поверхности 1-й частицы относительно 2-й частицы сыпучих материалов. Совершенно очевидно, что фрикционное вращение 2-й частицы возможно лишь в том случае, когда силы трения в зонах положительных Vксхu больше, чем силы трения в зонах отрицательных Vксхu.На рис. 5 изображена рассчитанная по формуле (11) номограмма скоростей упругого скольжения Vксхu при q = 0,0040, связанная  с относительными скоростями деформаций, в инвариантном виде на половине площадки контакта А1В1 частиц  сыпучих материалов.Для определения условий равновесного установившегося процесса контактирования  частиц сыпучих материалов проанализируем силовые параметры их контактирующих поверхностей.Контактные напряжения при соприкосновении  частиц сыпучих материалов выражаются величиной   q0=0,798Р D1+D2D1 ∙ D21-μ12Е1 + 1-μ22Е2,                                               (13)   24 где  Р=Rnв – нагрузка на единицу длины линии контакта вдоль образующей; D1+D2 –  диаметры 1-й и 2-й частиц сыпучих материалов; μ1 и Е1, μ2 и Е2 – коэффициенты Пуассона и модули продольной упругости для материалов  частиц.  Рис. 5. Номограмма Vксхu=Vксхω1∙r1=fvcδ1χ при q = 0,0040                            Ширина полоски контактаC = 2B = 1,6 Р∙D1∙D2D1+D2 1-μ12Е1+1-μ22Е2.                              (14)          Закон распределения напряжений на площадке по ходу относительного движения частиц сыпучих материалов – эллиптический: σх2     σхm2+ХВ2=1,                            (15)откуда следуетσх=σхm∙1-ХВ2,                   (16)Выражая Х = χ∙В и подставляя это значение в рассматриваемое выражение, найдем:σх=σхm∙1-χ2 = σхm∙σхu.                (17)Частные значения σхu=σхσm в зависимости от χ= ХВ даны в табл. 2, а кривая распределения напряжений по половине площадки А1В1 представлена на рис. 6. Если откладывать σхu=1  (в точке χ=0) в масштабе χ , то кривая эллипса превращается в дугу окружности радиуса 1.  Таблица 2 Частные значения σхu=σхσmχ0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0fх10,00000,10480,19850,29610,38940,47850,56200,63990,70500,75620,7854fх20,78540,68070,58690,48930,39600,30690,22340,14550,08040,02920,00fх1-fх2-0,7854-0,5859-0,3884-0,1932-0,0066+0,1716+0,3386+0,4944+0,6246+0,6246+0,7854       Тогда нагрузка на площадку контакта с В = 1 мм может быть представлена в виде 25 Р=201σхm∙В∙1-χ2 ∙ ∙dχ=2σхm∙ВХ21-χ2 +0,5aгс sinχ        (18)или                          Р= 2∙σхm ∙В∙π4 = π2  ∙ σхm∙В.                                                              (19)В интервале от 0 до                                 Р1=20χσхm∙В1-χ2 dχ=2σхm∙В∙Х2 ∙1-χ2 +0,5aгс sinχ=   =2σхm∙В∙fх1,                                                    (20)в интервале от  до 1Р2= Р-Р1=2σхm∙ Вπ4 –Х21-χ2 -0.5aгс sinχ=2σхm∙В∙fх2.      (21)                                                  Рис. 6. Распределение напряжений на площадке контакта                                                                           частиц сыпучих материалов   Придавая  конкретные частные значения, найдем значения fх1 и fх2, представленные в табл. 2.В связи с появлением упругих деформаций в перекатывающихся соприкасающихся поверхностях частиц  сыпучих материалов между ними, по Рейнольдсу,  неизбежно возникает упругое относительное скольжение. При этом по ширине  полоски  контакта возникают три характерных участка: два участка  скольжения  по краям и один участок   сцепления  в средней части  контакта.Скорость относительного скольжения в дифференциальном виде выражается величиной           VOTH= d SOTHdt  = dSOTHdφdφdt= ω1∙dSOTHdφ= Vксхu∙ω1r1,             (22)  где Vксхu= Vотнω1∙r1 - инвариант VOTH.          Отсюда определяется элементарное смещение точки поверхности одного компонента  сыпучих материалов  относительно другого:d Sотн= Vксхu∙r1∙dφ.                            (23)          Полное смещение точки одной частицы сыпучих материалов по поверхности второй частицы с момента начала рассматриваемого цикла контакта с учетом формулы (11) имеет вид                   Sотн=r1-φmφVксхu∙ dφ= r1-φmφσ-0,5-χ2∙q∙ dφ=               = r1∙σ-0,5∙q∙φ-φmφ+r1В∙qφ2-sin2φ4,               (24) где подставлены φ=ХВ = r1В ∙sinφ;  φ=аrcsinBχr1 и табличный интеграл -φmφsin2φ∙ dφ=φ2-sin2φ4          Подставляя в (24) пределы интегрированияφ= аrcsinB∙χr1; -φm= аrcsin-Br1, 26 получим:  Sотн=r1φ-0,5∙q∙аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1+r1B2∙q2аrcsinBχr1+  + аrcsinBr1-12sin2аrcsinBχr1-12sin2аrcsinBr1.                                                             (25)                                                                                                                  Так какsin2аrcsinBχr1=2B∙χr1∙cosаrcsinBχr1=2Bχr1∙1-B∙χr12иsin2аrcsinBr1=2Br1∙1-Br12,формула (25) приводится к видуSотн=r1∙ξ1=r1∙φ-0,5q∙аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1+r12∙q2B2аrcsinB∙χr1+аrcsinBr1--B∙χr11-B∙χr12-Br11-Br12 ,              (26)  где ξ1 – безразмерный коэффициент смещения одной частицы сыпучих материалов относительно другой  за цикл контакта.          Полное смещение точки одной частицы сыпучих материалов по поверхности второй за цикл контакта определяется после подстановки в формулу (26):   Sотн=ξ2∙r1=2φ-0,5∙qаrcsinBr1+r12q2B2аrcsinBr1-Br11-Br12∙r1,  (27)где ξ2 = Sотнr1 – безразмерный коэффициент полного смещения за цикл контакта (рис. 7).  Рис. 7. Безразмерный коэффициент полного смещения частиц сыпучих материалов за цикл контакта Заключение    27В результате проведенных исследований физических явлений, происходящих в зоне контакта частиц сыпучих материалов, с помощью аппарата безразмерных кинематических функций и анализа размерностей изучен не один какой-либо случай  оценки скорости упругого скольжения контактирующих поверхностей и их силовых параметров, а бесчисленное множество различных случаев, объединенных  общностью  свойств.В инвариантном виде получены зависимости для определения скорости упругого скольжения контактирующих поверхностей и их силовых параметров, а также намечены пути оптимизации размеров рабочих органов оборудования в виде винтового барабана. Показано,  что   для  создания  методики расчета и проектирования винтовых барабанов  необходимо получить в инвариантном виде зависимости для определения мощности, расходуемой на трение  при упругом относительном скольжении в зоне контакта частиц сыпучих материалов, работы сил трения упругого скольжения, скорости продольного перемещения частиц сыпучих материалов, а следовательно, и размеров винтового барабана, решая таким образом задачу оптимизации его конструкции в целом.